trong không gian Oxyz cho hình bình hành ABCD
có A(-3,4,2)
B(-5,6,2)
C(-10,17,-7)
tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABD

Question

Accepted Answer

Để tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABD$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ điểm $D$:
   Vì $ABCD$ là hình bình hành, nên ta có:
   $$
   \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
   $$
   Tính $\overrightarrow{AB}$:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (-5 + 3, 6 - 4, 2 - 2) = (-2, 2, 0)
   $$
   Gọi $D(x, y, z)$, ta có:
   $$
   \overrightarrow{DC} = C - D = (-10 - x, 17 - y, -7 - z)
   $$
   Do đó:
   $$
   (-10 - x, 17 - y, -7 - z) = (-2, 2, 0)
   $$
   Từ đây suy ra:
   $$
   -10 - x = -2 \implies x = -8
   $$
   $$
   17 - y = 2 \implies y = 15
   $$
   $$
   -7 - z = 0 \implies z = -7
   $$
   Vậy tọa độ của điểm $D$ là $(-8, 15, -7)$.

2. Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABD$:
   Trực tâm $H$ của tam giác $ABD$ là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác. Ta sẽ tìm giao điểm của đường cao hạ từ $A$ và $B$.

- Đường cao hạ từ $A$ vuông góc với $BD$:
     $$
     \overrightarrow{BD} = D - B = (-8 + 5, 15 - 6, -7 - 2) = (-3, 9, -9)
     $$
     Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BD$ có phương vectơ $\overrightarrow{n_1} = (-3, 9, -9)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -3 + t(-3) \
     y = 4 + t(9) \
     z = 2 + t(-9)
     \end{cases}
     $$

- Đường cao hạ từ $B$ vuông góc với $AD$:
     $$
     \overrightarrow{AD} = D - A = (-8 + 3, 15 - 4, -7 - 2) = (-5, 11, -9)
     $$
     Đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AD$ có phương vectơ $\overrightarrow{n_2} = (-5, 11, -9)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -5 + s(-5) \
     y = 6 + s(11) \
     z = 2 + s(-9)
     \end{cases}
     $$

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng này, ta giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   -3 + t(-3) = -5 + s(-5) \
   4 + t(9) = 6 + s(11) \
   2 + t(-9) = 2 + s(-9)
   \end{cases}
   $$

Từ phương trình thứ ba:
   $$
   2 - 9t = 2 - 9s \implies t = s
   $$

Thay $t = s$ vào phương trình thứ nhất:
   $$
   -3 - 3t = -5 - 5t \implies 2t = 2 \implies t = 1
   $$

Thay $t = 1$ vào phương trình thứ hai để kiểm tra:
   $$
   4 + 9(1) = 6 + 11(1) \implies 13 = 17 \quad (\text{không thỏa mãn})
   $$

Do đó, ta cần kiểm tra lại các phương trình và điều kiện. Ta thấy rằng phương trình thứ ba đã cho ta $t = s$, nhưng phương trình thứ nhất và thứ hai không thỏa mãn cùng một giá trị $t$. Điều này có thể do lỗi trong quá trình tính toán hoặc do các đường thẳng không cắt nhau.

Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp khác để tìm trực tâm $H$. Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giao điểm của đường trung trực của các cạnh tam giác.

- Đường trung trực của $BD$ đi qua trung điểm của $BD$ và vuông góc với $BD$:
     $$
     M_{BD} = \left( \frac{-5 - 8}{2}, \frac{6 + 15}{2}, \frac{2 - 7}{2} \right) = \left( -\frac{13}{2}, \frac{21}{2}, -\frac{5}{2} \right)
     $$
     Phương trình tham số của đường trung trực này là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -\frac{13}{2} + t(-3) \
     y = \frac{21}{2} + t(9) \
     z = -\frac{5}{2} + t(-9)
     \end{cases}
     $$

- Đường trung trực của $AD$ đi qua trung điểm của $AD$ và vuông góc với $AD$:
     $$
     M_{AD} = \left( \frac{-3 - 8}{2}, \frac{4 + 15}{2}, \frac{2 - 7}{2} \right) = \left( -\frac{11}{2}, \frac{19}{2}, -\frac{5}{2} \right)
     $$
     Phương trình tham số của đường trung trực này là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -\frac{11}{2} + s(-5) \
     y = \frac{19}{2} + s(11) \
     z = -\frac{5}{2} + s(-9)
     \end{cases}
     $$

Giải hệ phương trình này để tìm giao điểm của hai đường trung trực:
   $$
   \begin{cases}
   -\frac{13}{2} - 3t = -\frac{11}{2} - 5s \
   \frac{21}{2} + 9t = \frac{19}{2} + 11s \
   -\frac{5}{2} - 9t = -\frac{5}{2} - 9s
   \end{cases}
   $$

Từ phương trình thứ ba:
   $$
   -9t = -9s \implies t = s
   $$

Thay $t = s$ vào phương trình thứ nhất:
   $$
   -\frac{13}{2} - 3t = -\frac{11}{2} - 5t \implies 2t = 1 \implies t = \frac{1}{2}
   $$

Thay $t = \frac{1}{2}$ vào phương trình thứ hai để kiểm tra:
   $$
   \frac{21}{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{19}{2} + 11\left(\frac{1}{2}\right) \implies \frac{21}{2} + \frac{9}{2} = \frac{19}{2} + \frac{11}{2} \implies \frac{30}{2} = \frac{30}{2} \quad (\text{thỏa mãn})
   $$

Vậy tọa độ của trực tâm $H$ là:
   $$
   H = \left( -\frac{13}{2} - 3\left(\frac{1}{2}\right), \frac{21}{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right), -\frac{5}{2} - 9\left(\frac{1}{2}\right) \right) = \left( -\frac{13}{2} - \frac{3}{2}, \frac{21}{2} + \frac{9}{2}, -\frac{5}{2} - \frac{9}{2} \right) = \left( -8, 15, -7 \right)
   $$

Vậy tọa độ của trực tâm $H$ của tam giác $ABD$ là $(-8, 15, -7)$.

trong không gian Oxyz cho hình bình hành ABCD có A(-3,4,2) B(-5,6,2) C(-10,17,-7) tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABD