Giải hộ mình câu này với các bạn*

Ví dụ 3. a) Ta có đường phân giác góc A cắt BC tại D nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ Gọi BD = 3x (cm) thì DC = 5x (cm) Ta có: BD + DC = BC 3x + 5x = 28 8x = 28 x = 28 : 8 x = 3,5 Vậy BD = 3 × 3,5 = 10,5 (cm) DC = 5 × 3,5 = 17,5 (cm) b) Ta có DE // AB nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}=\frac{17,5}{28}=\frac{5}{8}$ Diện tích tam giác ADE là $\frac{5}{8}\times S_{ABC}=\frac{5}{8}\times S(cm^{2})$ Diện tích tam giác DCE là $\frac{5}{8}\times S_{ADC}=\frac{5}{8}\times \frac{5}{8}\times S=\frac{25}{64}\times S(cm^{2})$ Diện tích tam giác ABD là $S_{ABC}-S_{ADC}=S-\frac{5}{8}\times S=\frac{3}{8}\times S(cm^{2})$ Bài 1. Trước tiên, ta cần tìm độ dài đoạn thẳng \(BC\) bằng cách cộng độ dài \(DB\) và \(DC\): \[ BC = DB + DC = 15 + 20 = 35 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông. Theo tính chất này, tỉ số giữa hai cạnh kề với góc vuông bằng tỉ số giữa hai đoạn thẳng trên cạnh huyền do đường phân giác tạo ra: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{17}{AC} = \frac{15}{20} \] Rút gọn phân số bên phải: \[ \frac{17}{AC} = \frac{3}{4} \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm \(AC\): \[ 17 \times 4 = AC \times 3 \] \[ 68 = 3 \times AC \] \[ AC = \frac{68}{3} \] \[ AC = 22,67 \text{ cm} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \(AC\) là \(22,67 \text{ cm}\). Bài 2. Để chứng minh rằng \(DE\) song song với \(BC\), ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác và tam giác đồng dạng. 1. Xét tam giác \(AMB\): - \(AD\) là phân giác của góc \(AMB\). - Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{DA} = \frac{BM}{MA} \] 2. Xét tam giác \(AMC\): - \(AE\) là phân giác của góc \(AMC\). - Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{CE}{EA} = \frac{CM}{MA} \] 3. So sánh các tỉ số: - Từ hai tỉ số trên, ta thấy: \[ \frac{BD}{DA} = \frac{BM}{MA} \quad \text{và} \quad \frac{CE}{EA} = \frac{CM}{MA} \] - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = CM\). Do đó: \[ \frac{BD}{DA} = \frac{CE}{EA} \] 4. Áp dụng định lý Thales: - Định lý Thales cho biết nếu hai đoạn thẳng trên hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau, thì đường thẳng nối hai điểm trên hai đoạn thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. - Trong tam giác \(ABC\), ta có: \[ \frac{BD}{DA} = \frac{CE}{EA} \] - Điều này chứng tỏ rằng \(DE\) song song với \(BC\). Vậy ta đã chứng minh được \(DE\) song song với \(BC\). Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính BD và CD Bước 1: Xác định tỉ số của các cạnh Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: \[ AB = 12 \text{ cm}, AC = 16 \text{ cm}, BC = 20 \text{ cm} \] Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] \[ \frac{BD}{DC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \] Bước 3: Tìm BD và DC Gọi BD = 3k và DC = 4k. Ta có: \[ BD + DC = BC \] \[ 3k + 4k = 20 \] \[ 7k = 20 \] \[ k = \frac{20}{7} \] Do đó: \[ BD = 3k = 3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7} \text{ cm} \] \[ DC = 4k = 4 \times \frac{20}{7} = \frac{80}{7} \text{ cm} \] b) Vẽ đường cao AH và tính AH Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao AH Chiều cao AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính qua cạnh BC và đường cao AH: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] \[ 96 = \frac{1}{2} \times 20 \times AH \] \[ 96 = 10 \times AH \] \[ AH = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ cm} \] Đáp số: a) \( BD = \frac{60}{7} \text{ cm} \) \( DC = \frac{80}{7} \text{ cm} \) b) \( AH = 9.6 \text{ cm} \) Bài 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và đường phân giác. 1. Xác định tính chất của tam giác cân: - Trong tam giác cân \(ABC\) với \(AB = AC\), đường phân giác từ đỉnh \(B\) sẽ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến hạ từ đỉnh \(B\) xuống đáy \(AC\). 2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác cân: - Đường phân giác \(BD\) chia cạnh đáy \(AC\) thành hai phần bằng nhau, tức là \(AD = DC\). 3. Tính chiều dài \(AD\) và \(DC\): - Vì \(AD = DC\) và tổng \(AD + DC = AC\), ta có: \[ AD = DC = \frac{AC}{2} \] - Ta biết \(AB = AC = 15 \text{ cm}\), do đó: \[ AD = DC = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm} \] Đáp số: \[ AD = DC = 7.5 \text{ cm} \] Bài 5. Để tính giá trị của \( x \) trong hình, ta sẽ sử dụng phương pháp tính diện tích tam giác và diện tích hình thang. Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times AB \times BC$ = $\frac{1}{2} \times 10 \times 12$ = 60 cm² Bước 2: Tính diện tích tam giác ACD. Diện tích tam giác ACD = $\frac{1}{2} \times AC \times CD$ = $\frac{1}{2} \times 10 \times x$ = 5x cm² Bước 3: Tính diện tích hình thang ABCD. Diện tích hình thang ABCD = Diện tích tam giác ABC + Diện tích tam giác ACD = 60 + 5x cm² Bước 4: Tính diện tích hình thang ABCD theo công thức diện tích hình thang. Diện tích hình thang ABCD = $\frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD$ = $\frac{1}{2} \times (12 + x) \times 10$ = 5(12 + x) = 60 + 5x cm² Bước 5: So sánh hai kết quả tính diện tích hình thang ABCD. Ta có: 60 + 5x = 60 + 5x Bước 6: Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \). 60 + 5x = 60 + 5x 5x = 5x x = 12 Vậy giá trị của \( x \) là 12 cm. Đáp số: \( x = 12 \) cm. Bài 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và DC: Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \] Gọi BD = 3k và DC = 4k, ta có: \[ BD + DC = BC \] \[ 3k + 4k = 25 \] \[ 7k = 25 \] \[ k = \frac{25}{7} \] Do đó: \[ BD = 3k = 3 \times \frac{25}{7} = \frac{75}{7} \approx 10.71 \text{ cm} \] \[ DC = 4k = 4 \times \frac{25}{7} = \frac{100}{7} \approx 14.29 \text{ cm} \] b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD: Diện tích của tam giác ABD và ACD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC. Do đó, tỉ số diện tích của hai tam giác này bằng tỉ số của hai đáy tương ứng: \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} \] Đáp số: a) BD ≈ 10.71 cm, DC ≈ 14.29 cm b) Tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD là $\frac{3}{4}$. Bài 7: a) Chứng minh $\frac{EA}{EC}=\frac{AM}{BM}$. - Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB. - Ta có DE // BC nên góc DEM = góc BMC (hai góc so le trong). - Mặt khác, góc MDE = góc MBD (hai góc đồng vị). - Do đó, tam giác DEM và tam giác BMC đồng dạng (góc - góc). - Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{ED}{BC}=\frac{DM}{MC}$. - Vì DE // BC nên tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng (góc - góc). - Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$. - Kết hợp các tỉ lệ trên ta có: $\frac{EA}{EC}=\frac{AM}{MB}$. b) Chứng minh ME là đường phân giác. - Vì MD là đường phân giác của góc AMB nên ta có $\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}$. - Kết hợp với tỉ lệ đã chứng minh ở phần a) ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$. - Điều này chứng tỏ ME là đường phân giác của góc AEB (theo định lý đường phân giác trong tam giác). Vậy ME là đường phân giác của góc AEB. Bài 8: Để chứng minh $\frac{MH}{HC} = \frac{NK}{KB}$, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và tỉ số đoạn thẳng. 1. Tính chất tia phân giác trong tam giác: - Tia phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó. 2. Áp dụng tính chất tia phân giác cho tia phân giác BH của $\Delta MBC$: - Ta có $\frac{MH}{HC} = \frac{MB}{BC}$. 3. Áp dụng tính chất tia phân giác cho tia phân giác CK của $\Delta BCN$: - Ta có $\frac{NK}{KB} = \frac{NC}{BC}$. 4. So sánh các tỉ số: - Vì $CN = BM$, nên ta có $\frac{MB}{BC} = \frac{NC}{BC}$. 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta thấy $\frac{MH}{HC} = \frac{MB}{BC}$ và $\frac{NK}{KB} = \frac{NC}{BC}$. - Do $CN = BM$, nên $\frac{MB}{BC} = \frac{NC}{BC}$. - Vậy $\frac{MH}{HC} = \frac{NK}{KB}$. Đáp số: $\frac{MH}{HC} = \frac{NK}{KB}$. Bài 9: a) Ta có tia phân giác góc ngoài tại A cắt BC kéo dài tại M, nên ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}$ (tính chất đường phân giác) Suy ra: $AC.MB=AB.MC$ b) Ta có BN // AM nên ta có: $\frac{AN}{AC}=\frac{BN}{BM}$ (giao điểm nội phân) Mặt khác ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}$ (tính chất đường phân giác) Suy ra: $\frac{BN}{BM}=\frac{AB}{AC}$ Từ đó ta có: $\frac{AN}{AC}=\frac{AB}{AC}$ Suy ra: $\frac{MB}{MC}=\frac{NA}{AC}$