Câu 1: Người ta muốn làm một cái hộp hình chữ nhật không có nắp có chiều dài đáy gấp đôi chiều rộng và có thể tích 100 cm mét vuông. Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy hộp là 100.000VNĐ/img2 và giá tiền...

Câu 1: a) Chiều rộng của hộp là \( x \) cm, chiều dài của hộp là \( 2x \) cm. Diện tích đáy của hộp là: \[ S_{\text{đáy}} = x \times 2x = 2x^2 \, \text{cm}^2 \] Giá tiền vật liệu làm đáy hộp là: \[ \text{Giá tiền vật liệu làm đáy} = 2x^2 \times 100.000 \, \text{VNĐ/cm}^2 = 200.000x^2 \, \text{VNĐ} \] b) Thể tích của hộp là: \[ V = x \times 2x \times y = 2x^2y \, \text{cm}^3 \] Theo đề bài, thể tích của hộp là 100 cm³: \[ 2x^2y = 100 \] \[ y = \frac{100}{2x^2} = \frac{50}{x^2} \] c) Diện tích các mặt bên của hộp gồm hai mặt có diện tích \( xy \) và hai mặt có diện tích \( 2xy \): \[ S_{\text{mặt bên}} = 2(xy + 2xy) = 2(3xy) = 6xy \, \text{cm}^2 \] Giá tiền vật liệu làm mặt bên là: \[ \text{Giá tiền vật liệu làm mặt bên} = 6xy \times 50.000 \, \text{VNĐ/cm}^2 = 300.000xy \, \text{VNĐ} \] Tổng tiền chi phí làm hộp là: \[ T = 200.000x^2 + 300.000xy \] Thay \( y = \frac{50}{x^2} \) vào biểu thức trên: \[ T = 200.000x^2 + 300.000x \left(\frac{50}{x^2}\right) \] \[ T = 200.000x^2 + \frac{15.000.000}{x} \] d) Để chi phí làm hộp nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta tính đạo hàm của \( T \) theo \( x \): \[ T' = \frac{d}{dx} \left( 200.000x^2 + \frac{15.000.000}{x} \right) \] \[ T' = 400.000x - \frac{15.000.000}{x^2} \] Đặt \( T' = 0 \): \[ 400.000x - \frac{15.000.000}{x^2} = 0 \] \[ 400.000x = \frac{15.000.000}{x^2} \] \[ 400.000x^3 = 15.000.000 \] \[ x^3 = \frac{15.000.000}{400.000} \] \[ x^3 = 37.5 \] \[ x = \sqrt[3]{37.5} \approx 3.34 \, \text{cm} \] Thay \( x = 3.34 \) vào biểu thức của \( y \): \[ y = \frac{50}{(3.34)^2} \approx \frac{50}{11.1556} \approx 4.48 \, \text{cm} \] Vậy để chi phí làm hộp nhỏ nhất thì chiều cao của hộp là khoảng 4.48 cm.