Giúp e 2 bài này với ạ

Câu 4: Đầu tiên, ta cần xác định vị trí của khinh khí cầu sau mỗi giờ bay. Khinh khí cầu bay với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v} = (8; 6; -2)$ km/h, do đó sau mỗi giờ, tọa độ của khinh khí cầu sẽ thay đổi theo vectơ này. Sau 10 giờ, tọa độ của khinh khí cầu sẽ là: \[ A' = (-12 + 8 \times 10; -7 + 6 \times 10; 9 - 2 \times 10) = (68; 53; -11) \] Bây giờ, ta cần xác định thời điểm mà khinh khí cầu vào và ra khỏi vùng kiểm soát của trạm kiểm soát không lưu. Vùng kiểm soát của trạm kiểm soát không lưu là một hình cầu tâm tại gốc tọa độ O(0,0,0) và bán kính 12 km. Ta tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ O theo thời gian: \[ d(t) = \sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2 + (z(t))^2} \] Trong đó, tọa độ của khinh khí cầu sau t giờ là: \[ x(t) = -12 + 8t \] \[ y(t) = -7 + 6t \] \[ z(t) = 9 - 2t \] Do đó: \[ d(t) = \sqrt{(-12 + 8t)^2 + (-7 + 6t)^2 + (9 - 2t)^2} \] Khinh khí cầu vào vùng kiểm soát khi d(t) = 12: \[ \sqrt{(-12 + 8t)^2 + (-7 + 6t)^2 + (9 - 2t)^2} = 12 \] Bình phương cả hai vế: \[ (-12 + 8t)^2 + (-7 + 6t)^2 + (9 - 2t)^2 = 144 \] Mở rộng và thu gọn: \[ 144 - 192t + 64t^2 + 49 - 84t + 36t^2 + 81 - 36t + 4t^2 = 144 \] \[ 104t^2 - 312t + 274 = 144 \] \[ 104t^2 - 312t + 130 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ 52t^2 - 156t + 65 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{156 \pm \sqrt{156^2 - 4 \cdot 52 \cdot 65}}{2 \cdot 52} \] \[ t = \frac{156 \pm \sqrt{24336 - 13520}}{104} \] \[ t = \frac{156 \pm \sqrt{10816}}{104} \] \[ t = \frac{156 \pm 104}{104} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{156 + 104}{104} = \frac{260}{104} = 2.5 \] \[ t_2 = \frac{156 - 104}{104} = \frac{52}{104} = 0.5 \] Vậy khinh khí cầu vào vùng kiểm soát lúc t = 0.5 giờ và ra khỏi vùng kiểm soát lúc t = 2.5 giờ. Thời gian từ khi trạm kiểm soát phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là: \[ 2.5 - 0.5 = 2 \text{ giờ} \] Đổi sang phút: \[ 2 \text{ giờ} = 2 \times 60 = 120 \text{ phút} \] Đáp số: 120 phút. Câu 5: Để tìm số lượng sản phẩm x mà nhà máy nên sản xuất mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu (R(x)): Doanh thu là tổng số tiền bán được từ việc bán x sản phẩm. \[ R(x) = G(x) \cdot x = (1700 - 7x) \cdot x = 1700x - 7x^2 \] 2. Tính lợi nhuận (L(x)): Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa doanh thu và chi phí sản xuất. \[ L(x) = R(x) - C(x) = (1700x - 7x^2) - (16000 + 500x - 1.6x^2 + 0.004x^3) \] \[ L(x) = 1700x - 7x^2 - 16000 - 500x + 1.6x^2 - 0.004x^3 \] \[ L(x) = -0.004x^3 - 5.4x^2 + 1200x - 16000 \] 3. Tìm giá trị cực đại của L(x): Để tìm giá trị cực đại của hàm số L(x), chúng ta sẽ tính đạo hàm của L(x) và tìm điểm cực đại. \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-0.004x^3 - 5.4x^2 + 1200x - 16000) \] \[ L'(x) = -0.012x^2 - 10.8x + 1200 \] Bây giờ, chúng ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -0.012x^2 - 10.8x + 1200 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0.012: \[ x^2 + 900x - 100000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{900^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100000)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{810000 + 400000}}{2} \] \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{1210000}}{2} \] \[ x = \frac{-900 \pm 1100}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-900 + 1100}{2} = \frac{200}{2} = 100 \] \[ x_2 = \frac{-900 - 1100}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000 \] (loại vì số lượng sản phẩm không thể âm) Do đó, x = 100 là điểm cực đại của hàm số L(x). 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Vì x là số lượng sản phẩm, nó phải là số tự nhiên dương. Do đó, x = 100 là giá trị hợp lý. Kết luận: Mỗi tháng nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.