Huấn luyện viên thống kê thời gian chạy cự li 200m của hai vận động viên hoa và mai

Câu 4. Để xác định tính đúng, sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng biến thiên - Khoảng biến thiên của Hoa: từ [23,7; 24,2) - Khoảng biến thiên của Mai: từ [23,7; 24,2) Như vậy, khoảng biến thiên của cả hai vận động viên là như nhau. Mệnh đề a) đúng. Bước 2: Tính thành tích trung bình của Hoa Ta tính trung bình cộng của thời gian chạy của Hoa: \[ \text{Trung bình của Hoa} = \frac{(23,75 \times 11) + (23,85 \times 15) + (23,95 \times 7) + (24,05 \times 0) + (24,15 \times 5)}{11 + 15 + 7 + 0 + 5} \] \[ = \frac{(261,25) + (357,75) + (167,65) + (0) + (120,75)}{38} \] \[ = \frac{907,4}{38} \approx 23,88 \text{ giây} \] Thành tích trung bình của Hoa đạt trên 23,9 giây. Mệnh đề b) sai. Bước 3: So sánh thành tích trung bình của Hoa và Mai Tính trung bình cộng của thời gian chạy của Mai: \[ \text{Trung bình của Mai} = \frac{(23,75 \times 28) + (23,85 \times 18) + (23,95 \times 4) + (24,05 \times 0) + (24,15 \times 6)}{28 + 18 + 4 + 0 + 6} \] \[ = \frac{(665) + (429,3) + (95,8) + (0) + (144,9)}{56} \] \[ = \frac{1335}{56} \approx 23,84 \text{ giây} \] So sánh trung bình của Hoa và Mai: - Trung bình của Hoa: 23,88 giây - Trung bình của Mai: 23,84 giây Như vậy, thành tích trung bình của Mai tốt hơn Hoa. Mệnh đề c) sai. Bước 4: So sánh độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn cho thấy sự phân tán của dữ liệu. Ta sẽ tính độ lệch chuẩn của thời gian chạy của Hoa và Mai. Độ lệch chuẩn của Hoa: \[ s_H = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} \] Độ lệch chuẩn của Mai: \[ s_M = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} \] Do tính toán phức tạp, ta sẽ dựa vào dữ liệu để phỏng đoán: - Hoa có nhiều lần chạy ở các khoảng thời gian khác nhau, trong khi Mai chủ yếu tập trung ở khoảng thời gian đầu tiên. Như vậy, độ lệch chuẩn của Mai có thể thấp hơn Hoa, tức là thành tích của Mai ổn định hơn. Mệnh đề d) đúng. Kết luận - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 1. Để tìm điểm \( E \) trên mặt phẳng tọa độ \( (Oxy) \) mà đường thẳng \( AB \) đi qua, ta cần xác định tọa độ của điểm \( E \). Đầu tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng \( AB \): \[ \begin{cases} x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t \\ y = 2 + t(-2 - 2) = 2 - 4t \\ z = 3 + t(-1 - 3) = 3 - 4t \end{cases} \] Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình là \( z = 0 \). Ta thay \( z = 0 \) vào phương trình tham số của đường thẳng để tìm giá trị của tham số \( t \): \[ 3 - 4t = 0 \implies t = \frac{3}{4} \] Thay \( t = \frac{3}{4} \) vào phương trình tham số của đường thẳng để tìm tọa độ của điểm \( E \): \[ \begin{cases} x = 1 + 2 \left(\frac{3}{4}\right) = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \\ y = 2 - 4 \left(\frac{3}{4}\right) = 2 - 3 = -1 \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \( E \) là \( \left( \frac{5}{2}, -1, 0 \right) \). Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \): \[ T = \left( \frac{5}{2} \right)^2 + (-1)^2 + 0^2 = \frac{25}{4} + 1 + 0 = \frac{25}{4} + \frac{4}{4} = \frac{29}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ \boxed{\frac{29}{4}} \] Câu 2. Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình lăng trụ tứ giác đều lần lượt là $a$ và $h$. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tứ giác đều là: \[ S_{tp} = 2a^2 + 4ah \] Theo đề bài, ta có: \[ 2a^2 + 4ah = 200 \] \[ ah = \frac{200 - 2a^2}{4} \] \[ h = \frac{200 - 2a^2}{4a} \] Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều là: \[ V = a^2h \] \[ V = a^2 \left( \frac{200 - 2a^2}{4a} \right) \] \[ V = \frac{a(200 - 2a^2)}{4} \] \[ V = \frac{200a - 2a^3}{4} \] \[ V = 50a - \frac{a^3}{2} \] Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích, ta tính đạo hàm của $V$ theo $a$: \[ V' = 50 - \frac{3a^2}{2} \] Đặt $V' = 0$ để tìm điểm cực đại: \[ 50 - \frac{3a^2}{2} = 0 \] \[ 50 = \frac{3a^2}{2} \] \[ 100 = 3a^2 \] \[ a^2 = \frac{100}{3} \] \[ a = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77 \] Thay $a = 5.77$ vào công thức của $h$: \[ h = \frac{200 - 2(5.77)^2}{4 \times 5.77} \] \[ h = \frac{200 - 2 \times 33.3}{23.08} \] \[ h = \frac{200 - 66.6}{23.08} \] \[ h = \frac{133.4}{23.08} \approx 5.78 \] Thể tích lớn nhất của hình lăng trụ tứ giác đều là: \[ V = a^2h \] \[ V = (5.77)^2 \times 5.78 \] \[ V \approx 33.3 \times 5.78 \] \[ V \approx 192.414 \] Vậy thể tích lớn nhất của hộp quả mà bạn Hoa gấp được là khoảng 192 cm³ (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 3. Để tính giá trị của \(-3m + n - p\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(m\), \(n\) và \(p\) sao cho \(\overrightarrow{u} = m \cdot \overrightarrow{a} + n \cdot \overrightarrow{b} + p \cdot \overrightarrow{c}\). Bước 1: Viết phương trình vector: \[ \overrightarrow{u} = m \cdot \overrightarrow{a} + n \cdot \overrightarrow{b} + p \cdot \overrightarrow{c} \] Thay các giá trị vector vào: \[ (-2; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}) = m(1; -2; 0) + n(-1; 1; 2) + p(4; 0; 6) \] Bước 2: Tách thành các phương trình theo từng thành phần: \[ -2 = m - n + 4p \] \[ \frac{1}{2} = -2m + n \] \[ \frac{3}{2} = 2n + 6p \] Bước 3: Giải hệ phương trình này để tìm \(m\), \(n\) và \(p\). Từ phương trình thứ hai: \[ \frac{1}{2} = -2m + n \implies n = 2m + \frac{1}{2} \] Thay \(n\) vào phương trình thứ ba: \[ \frac{3}{2} = 2(2m + \frac{1}{2}) + 6p \] \[ \frac{3}{2} = 4m + 1 + 6p \] \[ \frac{1}{2} = 4m + 6p \] \[ 1 = 8m + 12p \quad \text{(nhân cả hai vế với 2)} \] \[ 8m + 12p = 1 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ nhất: \[ -2 = m - n + 4p \] \[ -2 = m - (2m + \frac{1}{2}) + 4p \] \[ -2 = m - 2m - \frac{1}{2} + 4p \] \[ -2 = -m - \frac{1}{2} + 4p \] \[ -\frac{3}{2} = -m + 4p \] \[ m - 4p = \frac{3}{2} \quad \text{(2)} \] Bây giờ, chúng ta có hai phương trình: \[ 8m + 12p = 1 \quad \text{(1)} \] \[ m - 4p = \frac{3}{2} \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (2) với 3: \[ 3m - 12p = \frac{9}{2} \quad \text{(3)} \] Cộng phương trình (1) và (3): \[ 8m + 12p + 3m - 12p = 1 + \frac{9}{2} \] \[ 11m = \frac{11}{2} \] \[ m = \frac{1}{2} \] Thay \(m = \frac{1}{2}\) vào phương trình (2): \[ \frac{1}{2} - 4p = \frac{3}{2} \] \[ -4p = 1 \] \[ p = -\frac{1}{4} \] Thay \(m = \frac{1}{2}\) vào \(n = 2m + \frac{1}{2}\): \[ n = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Bước 4: Tính giá trị của \(-3m + n - p\): \[ -3m + n - p = -3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (-\frac{1}{4}) \] \[ = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{4} \] Vậy giá trị của \(-3m + n - p\) là \(\frac{1}{4}\). Câu 4. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh 4, nên ta có: - A(0, 0, 0) - B(4, 0, 0) - C(4, 4, 0) - D(0, 4, 0) - Điểm H nằm trên cạnh AB sao cho $HB = 3HA$. Ta có: - $HA = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} \times 4 = 1$ - $H(1, 0, 0)$ - Điểm M là trung điểm của AB, nên: - $M\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M(2, 0, 0)$ - Điểm N là trung điểm của BC, nên: - $N\left(\frac{4+4}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = N(4, 2, 0)$ - Điểm S có tọa độ $(x_S, y_S, z_S)$, biết rằng $SH \perp (ABCD)$ và $SH = \sqrt{3}$. Vì $H(1, 0, 0)$, nên: - $S(1, 0, \sqrt{3})$ Tiếp theo, ta tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{ND}$: - Vectơ $\overrightarrow{SM}$: - $\overrightarrow{SM} = M - S = (2 - 1, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$ - Vectơ $\overrightarrow{ND}$: - $\overrightarrow{ND} = D - N = (0 - 4, 4 - 2, 0 - 0) = (-4, 2, 0)$ Bây giờ, ta tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{ND}$ bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{ND}}{|\overrightarrow{SM}| |\overrightarrow{ND}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{ND}$: \[ \overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{ND} = (1)(-4) + (0)(2) + (-\sqrt{3})(0) = -4 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{SM}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ |\overrightarrow{ND}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Thay vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{-4}{2 \times 2\sqrt{5}} = \frac{-4}{4\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \] Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{5}}\right) \approx 117^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{ND}$ là khoảng 117 độ. Câu 5. Để tính khoảng cách giữa hai phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm phân vị thứ 25 (P25): - Số lượng dữ liệu là 50. - Vị trí của P25 là $\frac{25}{100} \times 50 = 12.5$. - Do đó, P25 nằm trong khoảng từ 12 đến 13. 2. Tìm phân vị thứ 75 (P75): - Vị trí của P75 là $\frac{75}{100} \times 50 = 37.5$. - Do đó, P75 nằm trong khoảng từ 37 đến 38. 3. Tính khoảng cách giữa P25 và P75: - Khoảng cách giữa P25 và P75 là P75 - P25. Bây giờ, chúng ta sẽ dựa vào biểu đồ để xác định các giá trị cụ thể của P25 và P75. Giả sử biểu đồ cho thấy: - Khoảng từ 12 đến 13 thuộc nhóm có giá trị trung bình là 12.5 triệu đồng. - Khoảng từ 37 đến 38 thuộc nhóm có giá trị trung bình là 37.5 triệu đồng. Do đó: - P25 ≈ 12.5 triệu đồng. - P75 ≈ 37.5 triệu đồng. Khoảng cách giữa P25 và P75 là: \[ 37.5 - 12.5 = 25 \text{ triệu đồng} \] Vậy khoảng cách giữa hai phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 25 triệu đồng. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để xác định vị trí của hai chiếc khinh khí cầu và sau đó tìm khoảng cách từ điểm xuất phát đến mỗi chiếc khinh khí cầu. Bước 1: Xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu: - Chiếc thứ nhất: Cách điểm xuất phát 3 km về phía Đông, 2 km về phía Nam và 0,5 km cao hơn mặt đất. Tọa độ của nó là (3, -2, 0,5). - Chiếc thứ hai: Cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc, 1 km về phía Tây và 0,3 km cao hơn mặt đất. Tọa độ của nó là (-1, 1, 0,3). Bước 2: Xác định tọa độ của điểm đối xứng của mỗi chiếc khinh khí cầu qua mặt đất: - Chiếc thứ nhất: Điểm đối xứng qua mặt đất sẽ có tọa độ (3, -2, -0,5). - Chiếc thứ hai: Điểm đối xứng qua mặt đất sẽ có tọa độ (-1, 1, -0,3). Bước 3: Tìm khoảng cách giữa hai điểm đối xứng này: Khoảng cách giữa hai điểm (3, -2, -0,5) và (-1, 1, -0,3) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{((-1) - 3)^2 + (1 - (-2))^2 + ((-0,3) - (-0,5))^2} \] \[ d = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + (0,2)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 9 + 0,04} \] \[ d = \sqrt{25,04} \] \[ d \approx 5,0 \text{ km} \] Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất từ điểm xuất phát đến hai chiếc khinh khí cầu là 5,0 km.