Giải hộ mình câu 8

Câu 8: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định các điểm cực trị. 3. Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( y = x^3 - 3x + 1 \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Vậy hàm số có hai điểm cực trị là \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Bước 3: Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số Ta xét dấu của đạo hàm \( y' = 3(x^2 - 1) \): - Khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \), ta có \( x^2 - 1 > 0 \), do đó \( y' > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). - Khi \( -1 < x < 1 \), ta có \( x^2 - 1 < 0 \), do đó \( y' < 0 \). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC Gọi \( A \) và \( B \) lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Ta có: - Điểm cực đại \( A \) tại \( x = -1 \), giá trị \( y = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \). Vậy \( A(-1, 3) \). - Điểm cực tiểu \( B \) tại \( x = 1 \), giá trị \( y = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \). Vậy \( B(1, -1) \). - Điểm \( C \) là \( (-1, 2) \). Diện tích tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \] Thay tọa độ vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -1(-1 - 2) + 1(2 - 3) + (-1)(3 - (-1)) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -1(-3) + 1(-1) + (-1)(4) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 3 - 1 - 4 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -2 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Vậy diện tích tam giác \( ABC \) là 1. Kết luận: a) Đúng vì điểm cực tiểu của hàm số là \( x = 1 \). b) Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). c) Đúng vì \( x_1 = -1 \) và \( x_2 = 1 \), do đó \( x_1 \cdot x_2 = -1 \). d) Sai vì diện tích tam giác \( ABC \) là 1, không phải 12. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 9: a) Đúng. Khi $m=2$ ta có $y=\frac{x+2}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$ nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2;5]$ là $y(5)=4.$ b) Đúng. Khi $m=2$ ta có $y=\frac{x+2}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;5]$ là $y(2)=\frac{7}{4}.$ c) Đúng. Khi $m<-1$ ta có $y=\frac{x+m}{x-1}=1+\frac{m+1}{x-1}$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ là $y(2)=m+3.$ d) Sai. Khi $\min_{[2,4]}y=3$ thì $y(2)\leq y(4)$ suy ra $m+3\leq \frac{4+m}{3}$ suy ra $m\leq 0.$ Lập bảng biến thiên ta có $\min_{[2,4]}y=y(2)=m+3=3$ suy ra $m=0.$ Câu 10: a) Xét bảng biến thiên của hàm số bậc ba $y=f(x)$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 \\ \hline y & \nearrow & f(-2) & \searrow & f(0) \\ \hline \end{array} \] Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$. Vậy mệnh đề này là đúng. b) Xét hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$. Ta có: \[ y' = \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. \] Trên khoảng $(2, +\infty)$, ta có $x > 2$, do đó $x > 0$ và $x - 2 > 0$. Vì vậy, $y' > 0$ trên $(2, +\infty)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(2, +\infty)$. Mệnh đề này là đúng. c) Xét hàm số $y=f(x)$ có $f'(x) = x^{2017}(x-1)^{2018}(x+1)$. Ta có: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1, x = -1. \] Xét dấu của $f'(x)$: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, ta có $x < -1$, do đó $x^{2017} < 0$, $(x-1)^{2018} > 0$, $(x+1) < 0$. Vậy $f'(x) > 0$. - Trên khoảng $(-1, 0)$, ta có $-1 < x < 0$, do đó $x^{2017} < 0$, $(x-1)^{2018} > 0$, $(x+1) > 0$. Vậy $f'(x) < 0$. - Trên khoảng $(0, 1)$, ta có $0 < x < 1$, do đó $x^{2017} > 0$, $(x-1)^{2018} > 0$, $(x+1) > 0$. Vậy $f'(x) > 0$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, ta có $x > 1$, do đó $x^{2017} > 0$, $(x-1)^{2018} > 0$, $(x+1) > 0$. Vậy $f'(x) > 0$. Do đó, hàm số có 3 điểm cực trị tại $x = -1$, $x = 0$, và $x = 1$. Mệnh đề này là đúng. d) Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2ax + b$. Ta có: \[ y' = 3x^2 - 6x + 2a. \] Điểm cực tiểu của hàm số là $A(2, -2)$. Do đó: \[ y'(2) = 0 \Rightarrow 3(2)^2 - 6(2) + 2a = 0 \Rightarrow 12 - 12 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0. \] Thay $x = 2$ vào hàm số để tìm $b$: \[ y(2) = -2 \Rightarrow 2^3 - 3(2)^2 + 2(0)(2) + b = -2 \Rightarrow 8 - 12 + b = -2 \Rightarrow b = 2. \] Vậy $a + b = 0 + 2 = 2$. Mệnh đề này là đúng. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng