giải giúp ạ đúng sai ạ

Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. a) Khi \( m = -1 \) Thay \( m = -1 \) vào hàm số: \[ f(x) = 2x^3 + 2(-1 + 1)x^2 + 6x + 4 + 2(-1) = 2x^3 + 6x + 2 \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 + 6 \] Phương trình đạo hàm: \[ f'(x) = 6x^2 + 6 > 0 \quad \forall x \in (-\infty, +\infty) \] Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \). b) Khi \( m = 1 \) Thay \( m = 1 \) vào hàm số: \[ f(x) = 2x^3 + 2(1 + 1)x^2 + 6x + 4 + 2(1) = 2x^3 + 4x^2 + 6x + 6 \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 + 8x + 6 \] Phương trình đạo hàm: \[ f'(x) = 6x^2 + 8x + 6 \] Ta kiểm tra xem phương trình đạo hàm có nghiệm thực hay không: \[ 6x^2 + 8x + 6 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 64 - 144 = -80 < 0 \] Vì delta nhỏ hơn 0, phương trình đạo hàm không có nghiệm thực, do đó hàm số không có cực trị. c) Có 3 giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên \( (-\infty, +\infty) \) Hàm số \( f(x) = 2x^3 + 2(m+1)x^2 + 6x + 4 + 2m \) đồng biến trên \( (-\infty, +\infty) \) nếu đạo hàm \( f'(x) \geq 0 \) cho mọi \( x \). Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 + 4(m+1)x + 6 \] Phương trình đạo hàm: \[ f'(x) = 6x^2 + 4(m+1)x + 6 \] Để hàm số đồng biến trên \( (-\infty, +\infty) \), phương trình đạo hàm phải luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Điều này xảy ra khi delta của phương trình đạo hàm nhỏ hơn hoặc bằng 0: \[ \Delta' = [4(m+1)]^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 \leq 0 \] \[ 16(m+1)^2 - 144 \leq 0 \] \[ (m+1)^2 \leq 9 \] \[ -3 \leq m+1 \leq 3 \] \[ -4 \leq m \leq 2 \] Các giá trị nguyên dương của \( m \) trong khoảng này là \( m = 1, 2 \). Do đó, không có 3 giá trị nguyên dương của \( m \). d) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \) khi đó \( m \in (2, 5) \) Để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \), đạo hàm \( f'(x) \) phải bằng 0 tại \( x = 2 \): \[ f'(x) = 6x^2 + 4(m+1)x + 6 \] \[ f'(2) = 6(2)^2 + 4(m+1)(2) + 6 = 0 \] \[ 24 + 8(m+1) + 6 = 0 \] \[ 30 + 8m + 8 = 0 \] \[ 8m + 38 = 0 \] \[ 8m = -38 \] \[ m = -\frac{38}{8} = -\frac{19}{4} \] Do đó, \( m \) không thuộc khoảng \( (2, 5) \). Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Khi \( m = -1 \) thì hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \).