Giúp với ạ

Câu 44: Để tìm tất cả giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai véc tơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] 2. Tính độ dài của mỗi véc tơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Vì góc giữa hai véc tơ là \(45^\circ\), ta có: \[ \cos 45^\circ = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ta thay vào: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] 4. Giải phương trình: Nhân cả hai vế với \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}\): \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 1 - 2m \] \[ \frac{\sqrt{12}}{2} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 1 - 2m \] \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 1 - 2m \] Bình phương cả hai vế: \[ 3(1 + m^2) = (1 - 2m)^2 \] \[ 3 + 3m^2 = 1 - 4m + 4m^2 \] \[ 3 + 3m^2 = 1 - 4m + 4m^2 \] \[ 0 = 4m^2 - 3m^2 - 4m + 1 - 3 \] \[ 0 = m^2 - 4m - 2 \] 5. Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy, các giá trị của \( m \) là: \[ m = 2 + \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = 2 - \sqrt{6} \] Câu 45: Để hai véc tơ $\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{v} = (1; 0; m)$ tạo với nhau một góc $60^\circ$, ta cần tính tích vô hướng của chúng và so sánh với công thức tính góc giữa hai véc tơ. Tích vô hướng của hai véc tơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Phương pháp tính góc giữa hai véc tơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trong đó, $\theta = 60^\circ$, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Tính độ dài của hai véc tơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Áp dụng vào công thức: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với $\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}$: \[ 1 - 2m = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}}{2} \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2 - 4m = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (2 - 4m)^2 = (\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2})^2 \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6(1 + m^2) \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6 + 6m^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 16m^2 - 6m^2 - 16m + 4 - 6 = 0 \] \[ 10m^2 - 16m - 2 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 5m^2 - 8m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{10} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{21}}{5} \] Vậy tập hợp các giá trị của \( m \) là: \[ S = \left\{ \frac{4 + \sqrt{21}}{5}, \frac{4 - \sqrt{21}}{5} \right\} \] Số phần tử của \( S \) là 2. Đáp số: 2