Câu 3 câu 4

Câu 3 Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \( f(-2) = 0 \), \( f(-1) = 4 \), \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Câu 3. Để tìm thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng dân số là lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( p(t) \) và tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm này đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm của \( p(t) \). \[ p(t) = \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 7e^{-0.2t}) \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot (-0.2 \cdot 7e^{-0.2t}) \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{1.4e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \] \[ p'(t) = \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) để \( p'(t) \) đạt cực đại. Để tìm cực đại của \( p'(t) \), ta cần tính đạo hàm của \( p'(t) \) và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0. \[ p''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p''(t) = 1120 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 7e^{-0.2t})^2)}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot (-0.2e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot 2(1 + 7e^{-0.2t}) \cdot (-0.2 \cdot 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t})^2 + 2.8e^{-0.4t}(1 + 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t}) + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} - 1.4e^{-0.4t} + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] Đặt \( p''(t) = 0 \): \[ -0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t} = 0 \] \[ 1.4e^{-0.4t} = 0.2e^{-0.2t} \] \[ 7e^{-0.4t} = e^{-0.2t} \] \[ 7 = e^{0.2t} \] \[ \ln(7) = 0.2t \] \[ t = \frac{\ln(7)}{0.2} \approx 10 \] Vậy thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng dân số là lớn nhất là \( t \approx 10 \). Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và điều kiện: - Gọi số ngày máy A làm việc là \( x \) (ngày). - Số ngày máy B làm việc là \( y \) (ngày). - Ta có điều kiện \( x + y = 10 \) và \( 0 \leq y \leq 6 \). 2. Biểu diễn tổng số tiền lãi: - Số tiền lãi của máy A trong \( x \) ngày là \( x^3 + 2x \) (triệu đồng). - Số tiền lãi của máy B trong \( y \) ngày là \( 326y - 27y^3 \) (triệu đồng). - Tổng số tiền lãi là: \[ f(x) = x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^3 \] 3. Rút gọn biểu thức: - Biểu thức trên có thể viết lại thành: \[ f(x) = x^3 + 2x + 3260 - 326x - 27(1000 - 300x + 30x^2 - x^3) \] \[ f(x) = x^3 + 2x + 3260 - 326x - 27000 + 8100x - 810x^2 + 27x^3 \] \[ f(x) = 28x^3 - 810x^2 + 7776x - 23740 \] 4. Tìm cực đại của hàm số: - Để tìm giá trị cực đại của \( f(x) \), ta tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = 84x^2 - 1620x + 7776 \] - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 84x^2 - 1620x + 7776 = 0 \] Chia cả phương trình cho 12: \[ 7x^2 - 135x + 648 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{135^2 - 4 \cdot 7 \cdot 648}}{2 \cdot 7} \] \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{18225 - 17952}}{14} \] \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{273}}{14} \] \[ x = \frac{135 \pm 16.52}{14} \] \[ x_1 = \frac{151.52}{14} \approx 10.82 \quad (\text{loại vì } x \leq 10) \] \[ x_2 = \frac{118.48}{14} \approx 8.46 \] 5. Kiểm tra điều kiện và giá trị cực đại: - Kiểm tra \( x = 8.46 \) và \( y = 10 - 8.46 = 1.54 \) (thỏa mãn \( 0 \leq y \leq 6 \)). - Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 8.46 \): \[ f(8.46) = 28(8.46)^3 - 810(8.46)^2 + 7776(8.46) - 23740 \] \[ f(8.46) \approx 28 \cdot 608.9 - 810 \cdot 71.57 + 7776 \cdot 8.46 - 23740 \] \[ f(8.46) \approx 17049.2 - 57905.7 + 65804.16 - 23740 \] \[ f(8.46) \approx 11207.66 \] Do đó, để số tiền lãi là nhiều nhất, doanh nghiệp cần sử dụng máy A trong khoảng 8.46 ngày (khoảng 8 hoặc 9 ngày tùy theo yêu cầu thực tế). Đáp số: Máy A nên làm việc trong khoảng 8 hoặc 9 ngày để số tiền lãi là nhiều nhất.