giúp mình với

Câu 62. Để tìm giá trị của \(2m + 2n + p\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện của \(\overrightarrow{x}\): \[ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \] Bước 2: Thay các giá trị của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vào phương trình: \[ (5; 4; -1) + 2(m; n; p) = (2; -5; 3) \] Bước 3: Nhân 2 với \(\overrightarrow{x}\): \[ (5; 4; -1) + (2m; 2n; 2p) = (2; -5; 3) \] Bước 4: Cộng các thành phần tương ứng: \[ (5 + 2m; 4 + 2n; -1 + 2p) = (2; -5; 3) \] Bước 5: So sánh các thành phần tương ứng để tìm \(m\), \(n\), và \(p\): \[ 5 + 2m = 2 \\ 4 + 2n = -5 \\ -1 + 2p = 3 \] Bước 6: Giải các phương trình này: \[ 2m = 2 - 5 \\ 2m = -3 \\ m = -\frac{3}{2} \] \[ 2n = -5 - 4 \\ 2n = -9 \\ n = -\frac{9}{2} \] \[ 2p = 3 + 1 \\ 2p = 4 \\ p = 2 \] Bước 7: Tính \(2m + 2n + p\): \[ 2m + 2n + p = 2 \left(-\frac{3}{2}\right) + 2 \left(-\frac{9}{2}\right) + 2 \] \[ = -3 - 9 + 2 \] \[ = -10 \] Vậy, giá trị của \(2m + 2n + p\) là \(-10\). Đáp số: \(-10\). Câu 63. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ AB = B - A = (3-2, 7-5, 4-3) = (1, 2, 1) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ AC = C - A = (x-2, y-5, 6-3) = (x-2, y-5, 3) \] 3. Để \(AB\) và \(AC\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ AC = k \cdot AB \] \[ (x-2, y-5, 3) = k \cdot (1, 2, 1) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x - 2 = k \] \[ y - 5 = 2k \] \[ 3 = k \] Giải hệ phương trình này: \[ k = 3 \] Thay \(k = 3\) vào hai phương trình còn lại: \[ x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \] \[ y - 5 = 2 \cdot 3 \Rightarrow y - 5 = 6 \Rightarrow y = 11 \] Vậy \(x + y = 5 + 11 = 16\). Đáp số: \(x + y = 16\). Câu 64. Để tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó, \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), và \( C(x_C, y_C, z_C) \). Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(0, -1, 1) \) - \( B(2, -3, 2) \) - \( C(4, -2, 3) \) Tọa độ trọng tâm G sẽ là: \[ G\left(\frac{0 + 2 + 4}{3}, \frac{-1 + (-3) + (-2)}{3}, \frac{1 + 2 + 3}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{-6}{3}, \frac{6}{3}\right) \] \[ G(2, -2, 2) \] Do đó, tọa độ của trọng tâm G là \( (2, -2, 2) \). Tiếp theo, ta tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 2 + (-2) + 2 = 2 \] Vậy, \( x + y + z = 2 \). Đáp số: \( x + y + z = 2 \). Câu 65. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ liên quan: - Tứ diện đều ABCD có cạnh a. - M là trung điểm của BC, vậy BM = MC = $\frac{a}{2}$. Ta cần tính $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})$. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz (giả sử A ở gốc tọa độ): - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0) - D($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $\frac{a\sqrt{6}}{3}$) Bước 2: Tìm tọa độ của M (trung điểm của BC): - M($\frac{a + \frac{a}{2}}{2}$, $\frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}$, $\frac{0 + 0}{2}$) = M($\frac{3a}{4}$, $\frac{a\sqrt{3}}{4}$, 0) Bước 3: Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DM}$: - $\overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0)$ - $\overrightarrow{DM} = M - D = (\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0 - \frac{a\sqrt{6}}{3})$ = ($\frac{a}{4}$, $\frac{a\sqrt{3}}{12}$, $-\frac{a\sqrt{6}}{3}$) Bước 4: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}$: - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = a \cdot \frac{a}{4} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{12} + 0 \cdot (-\frac{a\sqrt{6}}{3}) = \frac{a^2}{4}$ Bước 5: Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DM}$: - $|\overrightarrow{AB}| = a$ - $|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{12})^2 + (-\frac{a\sqrt{6}}{3})^2}$ = $\sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{144} + \frac{6a^2}{9}}$ = $\sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{48} + \frac{2a^2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{3a^2}{48} + \frac{a^2}{48} + \frac{32a^2}{48}}$ = $\sqrt{\frac{36a^2}{48}}$ = $\sqrt{\frac{3a^2}{4}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Bước 6: Tính $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})$: - $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{DM}|}$ = $\frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{6}$ Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: - $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}) \approx 0.29$ Đáp số: $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}) \approx 0.29$. Câu 66. Để tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và giá trị biểu thức $T = 2a + b - c$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm A và điểm B: - Điểm A treo chính giữa bức tường 8m và cách trần 1m. Do đó, tọa độ của điểm A là $(4; 0; 3)$. - Điểm B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m. Do đó, tọa độ của điểm B là $(0; 3; 2,5)$. 2. Tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$: - Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. - $\overrightarrow{AB} = (0 - 4; 3 - 0; 2,5 - 3) = (-4; 3; -0,5)$. 3. Xác định giá trị biểu thức $T = 2a + b - c$: - Từ tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$, ta có $a = -4$, $b = 3$, và $c = -0,5$. - Thay vào biểu thức $T = 2a + b - c$, ta có: \[ T = 2(-4) + 3 - (-0,5) = -8 + 3 + 0,5 = -4,5. \] Vậy giá trị biểu thức $T = 2a + b - c$ là $-4,5$. Câu 67. Để tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$, ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm thành phần của các lực theo phương ngang và phương thẳng đứng: - Lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là 15 N và nằm trên trục thẳng đứng, do đó: \[ F_{1x} = 0, \quad F_{1y} = 15 \text{ N} \] - Lực $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn là 15 N và hợp với $\overrightarrow{F_1}$ một góc $60^\circ$, do đó: \[ F_{2x} = 15 \cos(60^\circ) = 15 \times \frac{1}{2} = 7.5 \text{ N} \] \[ F_{2y} = 15 \sin(60^\circ) = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \times 0.866 = 12.99 \text{ N} \] - Lực $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn là 15 N và hợp với $\overrightarrow{F_1}$ một góc $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$, do đó: \[ F_{3x} = 15 \cos(150^\circ) = 15 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 15 \times (-0.866) = -12.99 \text{ N} \] \[ F_{3y} = 15 \sin(150^\circ) = 15 \times \frac{1}{2} = 7.5 \text{ N} \] 2. Tính tổng các thành phần theo phương ngang và phương thẳng đứng: - Tổng thành phần theo phương ngang: \[ F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 + 7.5 + (-12.99) = -5.49 \text{ N} \] - Tổng thành phần theo phương thẳng đứng: \[ F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 15 + 12.99 + 7.5 = 35.49 \text{ N} \] 3. Tính độ lớn của hợp lực: - Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ là: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(-5.49)^2 + (35.49)^2} = \sqrt{30.14 + 1259.44} = \sqrt{1289.58} \approx 35.91 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ là khoảng 35.91 N. Câu 68. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta cần biết tọa độ của điểm A và điểm B. Giả sử tọa độ của điểm A là $(x_1; y_1; z_1)$ và tọa độ của điểm B là $(x_2; y_2; z_2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) \] Gọi tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(a; b; c)$, ta có: \[ a = x_2 - x_1, \quad b = y_2 - y_1, \quad c = z_2 - z_1 \] Do đó, để tính $a + c$, ta thực hiện phép cộng: \[ a + c = (x_2 - x_1) + (z_2 - z_1) \] Vậy $a + c$ bằng: \[ a + c = x_2 - x_1 + z_2 - z_1 \] Đáp số: $a + c = x_2 - x_1 + z_2 - z_1$.