Đths y=x^4-2mx^2+m-1 xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính ường tròn ngoại tiếp = 1

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của $ m $ sao cho đồ thị hàm số $ y = x^4 - 2mx^2 + m - 1 $ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị

Hàm số $ y = x^4 - 2mx^2 + m - 1 $ có đạo hàm là:
$$ y' = 4x^3 - 4mx $$

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $:
$$ 4x^3 - 4mx = 0 $$
$$ 4x(x^2 - m) = 0 $$

Phương trình này có nghiệm:
$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m $$

Vậy các điểm cực trị là $ x = 0 $, $ x = \sqrt{m} $, và $ x = -\sqrt{m} $.

Để hàm số có 3 cực trị phân biệt, cần có $ m > 0 $.

Bước 2: Tính tọa độ các điểm cực trị

Tọa độ các điểm cực trị là:
- $ A(0, y(0)) = (0, m - 1) $
- $ B(\sqrt{m}, y(\sqrt{m})) = \left(\sqrt{m}, -m^2 + m - 1\right) $
- $ C(-\sqrt{m}, y(-\sqrt{m})) = \left(-\sqrt{m}, -m^2 + m - 1\right) $

Bước 3: Điều kiện tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ được tính bằng công thức:
$$ R = \frac{abc}{4S} $$

Trong đó:
- $ a = BC = 2\sqrt{m} $
- $ b = CA = \sqrt{(0 + \sqrt{m})^2 + ((m - 1) - (-m^2 + m - 1))^2} = \sqrt{m + (m^2)^2} $
- $ c = AB = \sqrt{(0 - \sqrt{m})^2 + ((m - 1) - (-m^2 + m - 1))^2} = \sqrt{m + (m^2)^2} $

Diện tích tam giác $ ABC $ là:
$$ S = \frac{1}{2} \times BC \times \text{độ cao từ A} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{m} \times (m^2 - m + 1) = \sqrt{m}(m^2 - m + 1) $$

Thay vào công thức bán kính:
$$ R = \frac{2\sqrt{m} \cdot \sqrt{m + (m^2)^2} \cdot \sqrt{m + (m^2)^2}}{4\sqrt{m}(m^2 - m + 1)} = 1 $$

Rút gọn điều kiện:
$$ \frac{2(m + (m^2)^2)}{4(m^2 - m + 1)} = 1 $$
$$ m + (m^2)^2 = 2(m^2 - m + 1) $$
$$ (m^2)^2 - 3m^2 + 3m - 1 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này để tìm $ m $.

Bước 4: Giải phương trình

Phương trình $ (m^2)^2 - 3m^2 + 3m - 1 = 0 $ có thể được giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc các phương pháp khác phù hợp.

Sau khi giải, ta tìm được các giá trị của $ m $ thỏa mãn điều kiện trên.

Kết luận

Các giá trị của $ m $ để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 là các nghiệm của phương trình đã giải ở bước 4.