giải câu 24 chi tiết Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac9x$ trên đoạn $[2;4]$ là,$A.~\min_{[2;4]}y=6.$ $B.~\min_{[2;4]}y=\frac{25}4.$ $C.~\min_{[2;4]}y=-6.$ $D.~\min_{[2;4]}y=\frac{13}2.$

Question

Accepted Answer

Câu 24:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x + \frac{9}{x} $ trên đoạn $[2; 4]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 1 - \frac{9}{x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   1 - \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{9}{x^2} = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad (\text{vì } x > 0)
   $$
   Điểm tới hạn $ x = 3 $ nằm trong khoảng $[2; 4]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2 + \frac{9}{2} = 2 + 4.5 = 6.5
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2.25 = 6.25
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất:
   - $ y(2) = 6.5 $
   - $ y(3) = 6 $
   - $ y(4) = 6.25 $

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $ 6 $, đạt được tại $ x = 3 $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{A.~\min_{[2;4]}y=6.}
$$