giải giúp e ạ

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần biểu diễn vector \(\overrightarrow{B'C}\) theo các vector \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\). Trước tiên, ta phân tích các vector trong hình lăng trụ: 1. Vector \(\overrightarrow{B'C}\) có thể được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} \] 2. Vector \(\overrightarrow{B'B}\) là vector song song và cùng chiều với vector \(\overrightarrow{AA'}\), do đó: \[ \overrightarrow{B'B} = -\overrightarrow{b} \] 3. Vector \(\overrightarrow{BC}\) có thể được biểu diễn thông qua \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \] Kết hợp các biểu thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{b} + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) \] Rút gọn biểu thức: \[ \overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] So sánh với biểu thức \(\overrightarrow{B'C} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}\), ta có: - \(m = -1\) - \(n = -1\) - \(p = 1\) Do đó, tổng \(m + n + p\) là: \[ m + n + p = -1 - 1 + 1 = -1 \] Vậy, giá trị của \(m+n+p\) bằng \(-1\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra từng đẳng thức một cách chi tiết. Đẳng thức 1: \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\) - Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Gọi \(J\) là trung điểm của \(CD\), do đó \(\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). - Ta có: \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{OJ} - \overrightarrow{OI} = (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CJ}) - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI})\). - Thay \(\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) vào, ta có: \[ \overrightarrow{IJ} = (\overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] - Đẳng thức này không đúng với \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\). Đẳng thức 2: \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\) - Tương tự như trên, ta có: \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] - Đẳng thức này không đúng với \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\). Đẳng thức 3: \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD})\) - Tương tự như trên, ta có: \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] - Đẳng thức này không đúng với \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD})\). Đẳng thức 4: \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\) - Từ định nghĩa trung điểm, ta có: \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] - Đẳng thức này đúng với \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\). Kết luận: Chỉ có đẳng thức 4 là đúng. Vậy có 1 đẳng thức đúng. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA})\). Trước tiên, ta cần xác định các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\) trong tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Vì tứ diện đều có cạnh bằng 4, ta có độ dài \(|\overrightarrow{AB}| = 4\). 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{CA}\): Tương tự, \(|\overrightarrow{CA}| = 4\). 3. Tính tích vô hướng: Ta cần tính \(\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA})\). Sử dụng tính chất của tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} \] - Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 4^2 = 16 \] - Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}\): Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh bất kỳ là \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\). Do đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos\left(\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \] - Kết hợp lại: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] Vậy giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA})\) là \(\frac{32}{3}\). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính độ dài của tổng hai vectơ và công thức tích vô hướng. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng độ dài bằng 6, tức là \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 6\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\) là \(6\sqrt{3}\). Ta có công thức tính độ dài của tổng hai vectơ: \[ |\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 + 4 \cdot 6^2 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})} \] Tính toán: \[ 6\sqrt{3} = \sqrt{36 + 144 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})} \] \[ 6\sqrt{3} = \sqrt{180 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})} \] Bình phương hai vế: \[ 108 = 180 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] Giải phương trình: \[ 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 108 - 180 = -72 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -18 \] Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(x) \] Thay các giá trị đã biết: \[ -18 = 6 \cdot 6 \cdot \cos(x) \] \[ -18 = 36 \cos(x) \] \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \] Góc \(x\) có \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) là \(x = 120^\circ\). Vậy giá trị của \(x\) là \(120^\circ\). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ trong tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 15. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 15 và đặt trong hệ tọa độ sao cho: - Điểm $A$ tại gốc tọa độ $A(0, 0, 0)$. - Điểm $B$ có tọa độ $B(15, 0, 0)$. - Điểm $C$ có tọa độ $C\left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Để tìm tọa độ điểm $D$, ta cần đảm bảo rằng $D$ cách đều $A$, $B$, và $C$ một khoảng bằng 15. Do đó, tọa độ $D$ sẽ có dạng $D\left(\frac{15}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{15\sqrt{6}}{3}\right)$. Bước 2: Tính các vectơ Tính các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = (15, 0, 0)$ - $\overrightarrow{AC} = \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ - $\overrightarrow{AD} = \left(\frac{15}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{15\sqrt{6}}{3}\right)$ Bước 3: Tính tổng vectơ Tổng của các vectơ là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (15, 0, 0) + \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}, 0\right) + \left(\frac{15}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{15\sqrt{6}}{3}\right) \] Tính từng thành phần: - Thành phần $x$: $15 + \frac{15}{2} + \frac{15}{2} = 15 + 15 = 30$ - Thành phần $y$: $0 + \frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ - Thành phần $z$: $0 + 0 + \frac{15\sqrt{6}}{3} = 5\sqrt{6}$ Vậy tổng vectơ là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (30, 10\sqrt{3}, 5\sqrt{6}) \] Bước 4: Tính độ dài của vectơ tổng Độ dài của vectơ tổng là: \[ \sqrt{30^2 + (10\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{6})^2} = \sqrt{900 + 300 + 150} = \sqrt{1350} = 15\sqrt{6} \] Do đó, độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ là $15\sqrt{6}$, và giá trị của $a$ là 15.