Giúp mình với!

Bài 2. a) Vì N là trung điểm của AB nên ta có AN = NB = $\frac{1}{2}$AB. Vì M là trung điểm của BC nên ta có BM = MC = $\frac{1}{2}$BC. Do đó, ta có: $\frac{AN}{AC}$ = $\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}(AB+BC)}$ = $\frac{AB}{AB+BC}$ b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM. Do đó, ta có: $\frac{AG}{GM}$ = $\frac{2GM}{GM}$ = 2 c) Ta có: $\frac{AG}{GM}$ = $\frac{BG}{GN}$ = $\frac{CG}{GM}$ = 2 Vậy hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GM là BG và GN, CG và GM. Bài 3. a) Ta có K là trung điểm của AD và Q là trung điểm của AC. Do đó, theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: \[ KQ // CD \] b) Ta có P là trung điểm của BC và Q là trung điểm của AC. Do đó, theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: \[ PQ // AB \] Mặt khác, ta cũng biết rằng: \[ AB // CD \] Do đó, ta có: \[ PQ // CD \] Bây giờ, ta xét tam giác BCD. Vì K là trung điểm của AD và P là trung điểm của BC, nên theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: \[ KP // CD \] Vậy ta đã chứng minh được: a) \( KQ // CD \) b) \( KP // CD \) Đáp số: a) \( KQ // CD \); b) \( KP // CD \) Bài 4. Để tính các tỉ số $\frac{AH}{AB}$ và $\frac{HB}{AB}$, ta sẽ dựa vào tỉ số $\frac{HA}{HB}$ đã cho. Trường hợp a) $\frac{HA}{HB} = \frac{1}{2}$ 1. Giả sử HA = x, HB = 2x (vì $\frac{HA}{HB} = \frac{1}{2}$). 2. Vậy AB = HA + HB = x + 2x = 3x. 3. Tỉ số $\frac{AH}{AB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$. 4. Tỉ số $\frac{HB}{AB} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$. Trường hợp b) $\frac{HA}{HB} = \frac{7}{4}$ 1. Giả sử HA = 7y, HB = 4y (vì $\frac{HA}{HB} = \frac{7}{4}$). 2. Vậy AB = HA + HB = 7y + 4y = 11y. 3. Tỉ số $\frac{AH}{AB} = \frac{7y}{11y} = \frac{7}{11}$. 4. Tỉ số $\frac{HB}{AB} = \frac{4y}{11y} = \frac{4}{11}$. Kết luận - Trong trường hợp a), ta có $\frac{AH}{AB} = \frac{1}{3}$ và $\frac{HB}{AB} = \frac{2}{3}$. - Trong trường hợp b), ta có $\frac{AH}{AB} = \frac{7}{11}$ và $\frac{HB}{AB} = \frac{4}{11}$. Bài 5. Ta sẽ sử dụng phương pháp diện tích để giải bài toán này. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Vì $\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$ nên diện tích của tam giác ABD là $\frac{3}{4}S$. Vì $\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$ nên diện tích của tam giác ABE là $\frac{1}{3}$ diện tích của tam giác ABD, tức là $\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}S=\frac{1}{4}S$. Diện tích của tam giác BEC là diện tích của tam giác ABC trừ đi diện tích của tam giác ABE và tam giác ABD, tức là $S-\frac{1}{4}S-\frac{3}{4}S=\frac{1}{4}S$. Vì diện tích của tam giác BEC là $\frac{1}{4}S$, nên diện tích của tam giác BEC bằng $\frac{1}{4}$ diện tích của tam giác ABC. Diện tích của tam giác ABK là $\frac{1}{4}$ diện tích của tam giác ABE, tức là $\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}S=\frac{1}{16}S$. Diện tích của tam giác AKC là diện tích của tam giác ABC trừ đi diện tích của tam giác ABK và tam giác BEC, tức là $S-\frac{1}{16}S-\frac{1}{4}S=\frac{11}{16}S$. Tỉ số $\frac{AK}{KC}$ bằng tỉ số diện tích của tam giác ABK và diện tích của tam giác BEC, tức là $\frac{\frac{1}{16}S}{\frac{11}{16}S}=\frac{1}{11}$. Đáp số: $\frac{AK}{KC}=\frac{1}{11}$.