Cho tứ giác ABCD (AC CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{CP}{CD}$. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng khi M di động
trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung điểm I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Question

Cho tứ giác ABCD (AC > CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{CP}{CD}$. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng khi M di động
trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung điểm I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Accepted Answer

Gọi H là trung điểm của BK
Từ M, P kẻ đường thẳng song song với BK
lần lượt AH, CH lần lượt là N, Q
Ta có :
$\displaystyle \frac{AM}{AB} =\frac{CP}{CD} =\frac{CP}{CK}( 1)$
vì CK = CP
mà $\displaystyle MN\ //\ HB$
$\displaystyle ightarrow \frac{AM}{AB} =\frac{AN}{AH}( 2)$
Ta có :
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
PQ\ //\ HK\ \
ightarrow \frac{CQ}{CH} =\frac{CP}{CK}\
( 1) ,\ ( 2) ightarrow \frac{AN}{AH} =\frac{CQ}{CH}\
ightarrow NQ\ //\ AC\ \
ightarrow \frac{MN}{BH} =\frac{AM}{AB} =\frac{CP}{CK} =\frac{QK}{HK}\
ightarrow MN\ =\ PQ\
\end{array}$
vì $\displaystyle HB\ =\ HK$
Ta có :
$\displaystyle MN\ //\ PQ\ ( //\ BK)$
do đó : MNPQ là hình bình hành
$\displaystyle ightarrow MP\cap NQ$ tại trung điểm của mỗi đường
do đó I là trung điểm MP
$\displaystyle ightarrow I$ là trung điểm NQ
Gọi $\displaystyle HI\ \cap AC\ =\ O\ $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
ightarrow \frac{IN}{OA} =\frac{HI}{HO} =\frac{IQ}{OC}\
ightarrow OA\ =\ OC
\end{array}$
$\displaystyle ightarrow O$ là trung điểm AC
$\displaystyle ightarrow I\ \in \ HO\ $cố định
Vậy I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định

Cho tứ giác ABCD (AC > CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao cho . Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng khi M di động trên AB và P di...