Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB và từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắ...

a) Ta có \( \angle ABK = 90^\circ \) và \( \angle ACK = 90^\circ \). Do đó, \( BK \perp AB \) và \( CK \perp AC \). Trong tam giác \( ABH \), ta có \( \angle BAH + \angle ABH = 90^\circ \). Trong tam giác \( ACK \), ta có \( \angle CAK + \angle ACK = 90^\circ \). Vì \( \angle ABH = \angle ACK \) (cùng phụ với \( \angle BAC \)), nên \( \angle BAH = \angle CAK \). Do đó, \( \angle BAH = \angle CAK \) và \( \angle ABH = \angle ACK \). Điều này chứng tỏ rằng \( \triangle ABH \sim \triangle ACK \) (góc - góc). Từ đó, ta có \( \frac{BH}{CK} = \frac{AB}{AC} \). Vì \( AB < AC \), nên \( BH < CK \). Ta cũng có \( \angle BHC = \angle BKC = 90^\circ \). Do đó, \( BH \parallel CK \) và \( HC \parallel BK \). Vậy tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành. b) Ta đã chứng minh \( BHCK \) là hình bình hành, do đó \( HK \) là đường chéo của hình bình hành này. Trong hình bình hành, đường chéo cắt đôi nhau, tức là \( HK \) cắt \( BC \) tại trung điểm \( M \) của \( BC \). Vậy ba điểm \( H \), \( M \), \( K \) thẳng hàng. c) Ta có \( HG \perp BC \) và \( HG = GI \). Do đó, \( \triangle HGI \) là tam giác vuông cân tại \( G \), tức là \( HI = HG \). Trong tam giác \( BHC \), ta có \( HG \perp BC \) và \( HG = GI \). Do đó, \( \triangle HGI \) là tam giác vuông cân tại \( G \), tức là \( HI = HG \). Ta cũng có \( BK \parallel CK \) và \( BK = CK \). Do đó, \( BK \parallel CK \) và \( BK = CK \). Vậy tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân. Đáp số: a) Tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành. b) Ba điểm \( H \), \( M \), \( K \) thẳng hàng. c) Tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân.