Bài 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C nằm trên đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của dây cung BC. Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D.
a) Chứng minh rằng DO⊥BC và △ABC vuông.
b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Vẽ CH⊥AB tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BI tại E. Chứng minh E,C,D thẳng hàng.

Question

Ái Nhã Kỳ · Accepted Answer

a.Vì $K$ là trung điểm $C D$

$\to O K ⊥ C D$

$\to O D ⊥ B C$

b.Ta có: $A B$ là đường kính của $(O)$

$\to \hat{A C B} = 90^{o}$

$\to Δ A B C$ vuông tại $C$

c.Ta có: $O D ⊥ B C \to O D$ là trung trực $B C$

$D B$ là tiếp tuyến của $(O) \to \hat{O B D} = 90^{o}$

$\to \hat{O C D} = \hat{O B D} = 90^{o}$

$\to D C ⊥ O C$

$\to D C$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Gọi $A E \cap B C = F$

Ta có: $A F / / C H (⊥ A B)$

$\to \frac{I H}{A E} = \frac{B I}{B E} = \frac{C I}{E F}$

$\to E A = E F$ vì $I H = I C$

$\to E$ là trung điểm $A F$

Mà $O$ là trung điểm $A B$

$\to O E$ là đường trung bình $Δ A B F$

$\to O E / / B F$

Mà $A C ⊥ B C \to O E ⊥ A C$

$\to O E$ là trung trực AC $A C$

$\to \hat{E C O} = \hat{E A O} = 90^{o}$

$\to E C ⊥ O C$

Lại có: $O C ⊥ C D$

$\to E, C, D$ thẳng hàng

Timi · Answer

Bài 7.
a) Chứng minh rằng DO⊥BC và △ABC vuông.
- Vì K là trung điểm của dây cung BC nên OK⊥BC (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
- Do đó, DO⊥BC.
- Vì AB là đường kính của nửa đường tròn (O) nên ∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- Vậy △ABC là tam giác vuông tại C.

b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Ta có ∠DBA = 90° (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Xét tam giác OBD và OCD:
  - OB = OC (bán kính của đường tròn).
  - OD chung.
  - ∠ODB = ∠ODC (vì DO⊥BC).
- Vậy tam giác OBD và OCD bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Do đó, ∠OCD = ∠OBD = 90°.
- Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh E, C, D thẳng hàng.
- Vẽ CH⊥AB tại H. Gọi I là trung điểm của CH.
- Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BI tại E.
- Ta có ∠EAB = 90° (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Xét tam giác AEB và ACB:
  - AB chung.
  - ∠EAB = ∠ACB = 90°.
  - ∠BAE = ∠BAC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung).
- Vậy tam giác AEB và ACB bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn).
- Do đó, EB = CB.
- Xét tam giác EBI và CBI:
  - BI chung.
  - EB = CB (chứng minh trên).
  - ∠EBA = ∠CBA (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung).
- Vậy tam giác EBI và CBI bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn).
- Do đó, ∠IBE = ∠IBC.
- Vì ∠IBC = ∠OCD = 90° (chứng minh ở phần b) nên ∠IBE = 90°.
- Vậy E, C, D thẳng hàng.

Đáp số: a) DO⊥BC và △ABC vuông. b) DC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) E, C, D thẳng hàng.

Bài 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C nằm trên đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của dây cung BC. Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D. a) Chứng minh rằng DO⊥BC và △ABC vuông....