công thức tính nhị thức newton

Công thức nhị thức Newton là một công cụ quan trọng trong đại số, giúp ta mở rộng lũy thừa của một tổng hai số. Dưới đây là các bước để hiểu và áp dụng công thức này: Bước 1: Giới thiệu công thức nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton cho phép ta mở rộng biểu thức \((a + b)^n\) dưới dạng tổng các hạng tử. Công thức này được viết dưới dạng: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó: - \( \binom{n}{k} \) là hệ số nhị thức, còn được gọi là hệ số tổ hợp, và được tính bằng công thức: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Bước 2: Hiểu ý nghĩa của các thành phần - \( n \) là số mũ của biểu thức \((a + b)\). - \( k \) là chỉ số của mỗi hạng tử trong tổng, chạy từ 0 đến \( n \). - \( \binom{n}{k} \) là hệ số tổ hợp, biểu thị số cách chọn \( k \) phần tử từ \( n \) phần tử. - \( a^{n-k} \) và \( b^k \) là các lũy thừa của \( a \) và \( b \). Bước 3: Áp dụng công thức Ta sẽ mở rộng biểu thức \((a + b)^n\) bằng cách áp dụng công thức trên. Mỗi hạng tử trong tổng sẽ có dạng: \[ \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Với \( k \) chạy từ 0 đến \( n \). Bước 4: Ví dụ minh họa Giả sử ta muốn mở rộng biểu thức \((a + b)^3\): \[ (a + b)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^{3-k} b^k \] Ta tính từng hạng tử: - Khi \( k = 0 \): \[ \binom{3}{0} a^{3-0} b^0 = 1 \cdot a^3 \cdot 1 = a^3 \] - Khi \( k = 1 \): \[ \binom{3}{1} a^{3-1} b^1 = 3 \cdot a^2 \cdot b = 3a^2b \] - Khi \( k = 2 \): \[ \binom{3}{2} a^{3-2} b^2 = 3 \cdot a \cdot b^2 = 3ab^2 \] - Khi \( k = 3 \): \[ \binom{3}{3} a^{3-3} b^3 = 1 \cdot 1 \cdot b^3 = b^3 \] Vậy: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Kết luận Công thức nhị thức Newton giúp ta mở rộng biểu thức \((a + b)^n\) thành tổng các hạng tử theo công thức: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, \( \binom{n}{k} \) là hệ số tổ hợp, biểu thị số cách chọn \( k \) phần tử từ \( n \) phần tử.