giải giúp em với ạ

Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân. Bước 1: Xác định giá trị của tích phân ban đầu. \[ \int^4_1 f(x) \, dx = 6 \] Bước 2: Áp dụng tính chất của tích phân để tính \(2 \int^4_1 f(x) \, dx\). Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ 2 \int^4_1 f(x) \, dx = 2 \times \left( \int^4_1 f(x) \, dx \right) \] Thay giá trị của tích phân đã biết vào: \[ 2 \int^4_1 f(x) \, dx = 2 \times 6 = 12 \] Vậy đáp án đúng là: C. 12 Đáp số: C. 12 Câu 4. Ta có: \[ \int^4_{-1}[f(x) + g(x)] \, dx = \int^4_{-1} f(x) \, dx + \int^4_{-1} g(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^4_{-1} f(x) \, dx = 2 \] và \[ \int^4_{-1} g(x) \, dx = 3 \] Do đó: \[ \int^4_{-1}[f(x) + g(x)] \, dx = 2 + 3 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: A. 5 Câu 5. Để tính $\int^2_0\left(\frac{1}{2}f(x) - 2\right)dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách và tính từng phần riêng lẻ. Bước 1: Tính $\int^2_0 \frac{1}{2}f(x) dx$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^2_0 \frac{1}{2}f(x) dx = \frac{1}{2} \int^2_0 f(x) dx \] Biết rằng $\int^2_0 f(x) dx = 4$, nên: \[ \int^2_0 \frac{1}{2}f(x) dx = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \] Bước 2: Tính $\int^2_0 2 dx$ Tích phân của một hằng số từ 0 đến 2 là: \[ \int^2_0 2 dx = 2 \int^2_0 dx = 2 [x]^2_0 = 2(2 - 0) = 4 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên Ta có: \[ \int^2_0 \left(\frac{1}{2}f(x) - 2\right) dx = \int^2_0 \frac{1}{2}f(x) dx - \int^2_0 2 dx = 2 - 4 = -2 \] Vậy đáp án đúng là: D. -2 Câu 6. Để tính $\int^3_1[f(x)+2x]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^3_1[f(x)+2x]dx = \int^3_1 f(x) dx + \int^3_1 2x dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^3_1 f(x) dx = 2 \] Bây giờ, ta cần tính $\int^3_1 2x dx$. Ta có: \[ \int^3_1 2x dx = 2 \int^3_1 x dx \] Tích phân của $x$ từ 1 đến 3 là: \[ \int^3_1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^3_1 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Do đó: \[ 2 \int^3_1 x dx = 2 \times 4 = 8 \] Vậy: \[ \int^3_1[f(x)+2x]dx = 2 + 8 = 10 \] Đáp án đúng là: B. 10. Câu 7. Để tính $\int^3_0 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_0 f(x) dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^3_1 f(x) dx \] Theo đề bài, ta đã biết: \[ \int^1_0 f(x) dx = 2 \] \[ \int^3_1 f(x) dx = 5 \] Do đó, ta thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^3_0 f(x) dx = 2 + 5 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: C. 7 Câu 8. Ta có: \[ \int^4_0 f(x) \, dx = \int^3_0 f(x) \, dx + \int^4_3 f(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 10 = \int^3_0 f(x) \, dx + 4 \] Giải phương trình này để tìm $\int^3_0 f(x) \, dx$: \[ \int^3_0 f(x) \, dx = 10 - 4 = 6 \] Vậy tích phân $\int^3_0 f(x) \, dx$ bằng 6. Đáp án đúng là: D. 6. Câu 9. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x + 1 \). Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \) và nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( 2x + 1 \) là: \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm đã tìm được. \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) \] \[ I = (4 + 2) - (0 + 0) \] \[ I = 6 - 0 \] \[ I = 6 \] Vậy tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \) có giá trị là 6. Đáp án đúng là: B. \( I = 6 \). Câu 10. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ = -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0)) \] Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức cosin. \[ = -0 - (-1) \] \[ = 0 + 1 \] \[ = 1 \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 11. Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách tích phân thành hai phần riêng biệt: \[ I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tích phân thứ nhất: \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln |x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \] - Tích phân thứ hai: \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{1}^{e} x^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{e} = -\frac{1}{e} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{1}{e} \] Bước 3: Kết hợp kết quả của hai tích phân: \[ I = 1 - \left( 1 - \frac{1}{e} \right) = 1 - 1 + \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{e}} \] Đáp án: A. \( I = \frac{1}{e} \) Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) từ 0 đến \( m \) và so sánh kết quả với 6. Bước 1: Tính tích phân của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \). \[ \int_{0}^{m} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần của tích phân. \[ \int_{0}^{m} 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{m} = [x^3]_{0}^{m} = m^3 \] \[ \int_{0}^{m} -2x \, dx = -2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{m} = [-x^2]_{0}^{m} = -m^2 \] \[ \int_{0}^{m} 1 \, dx = [x]_{0}^{m} = m \] Bước 3: Cộng các kết quả lại. \[ \int_{0}^{m} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = m^3 - m^2 + m \] Bước 4: Đặt tích phân bằng 6 và giải phương trình. \[ m^3 - m^2 + m = 6 \] Bước 5: Kiểm tra các khoảng đã cho để tìm giá trị của \( m \). A. \( (-1; 2) \) - Nếu \( m = 1 \): \[ 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 6 \] - Nếu \( m = 2 \): \[ 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \] B. \( (-\infty; 0) \) - Nếu \( m = -1 \): \[ (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = -1 - 1 - 1 = -3 \neq 6 \] C. \( (0; 4) \) - Nếu \( m = 2 \): \[ 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \] D. \( (-3; 1) \) - Nếu \( m = 1 \): \[ 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 6 \] Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng giá trị của \( m \) thỏa mãn phương trình \( m^3 - m^2 + m = 6 \) nằm trong khoảng \( (0; 4) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (0; 4) \)