Giải dùm em

Câu 1. a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50 phút. Để tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: - Tính trung điểm của mỗi nhóm. - Nhân số lượng học sinh trong mỗi nhóm với trung điểm tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân lại. - Chia tổng này cho tổng số học sinh. Trung điểm của các nhóm lần lượt là: - Nhóm [0; 20): $\frac{0 + 20}{2} = 10$ - Nhóm [20; 40): $\frac{20 + 40}{2} = 30$ - Nhóm [40; 60): $\frac{40 + 60}{2} = 50$ - Nhóm [60; 80): $\frac{60 + 80}{2} = 70$ - Nhóm [80; 100): $\frac{80 + 100}{2} = 90$ Tổng số học sinh là: $5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$ Tính tổng các giá trị nhân với số lượng học sinh: \[ 5 \times 10 + 9 \times 30 + 12 \times 50 + 10 \times 70 + 6 \times 90 = 50 + 270 + 600 + 700 + 540 = 2160 \] Số trung bình là: \[ \frac{2160}{42} \approx 51.43 \] Vậy, số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 51.43 phút, không phải 50 phút. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 100. Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Trong trường hợp này, giá trị lớn nhất là 100 phút (nhóm [80; 100)) và giá trị nhỏ nhất là 0 phút (nhóm [0; 20)). Khoảng biến thiên là: \[ 100 - 0 = 100 \] Vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 100. c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm [80; 100). Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong mẫu số liệu này, nhóm có số lượng học sinh nhiều nhất là nhóm [40; 60) với 12 học sinh. Vậy, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm [40; 60), không phải nhóm [80; 100). d) Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc nhóm [40; 60). Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 42 học sinh, trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị thứ 21 và 22. Ta tính tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm trước nhóm [40; 60): \[ 5 + 9 = 14 \] Nhóm [40; 60) có 12 học sinh, bao gồm các giá trị từ 15 đến 26 (vì 14 + 12 = 26). Vậy, trung vị nằm trong nhóm [40; 60). Kết luận: a) Sai, số trung bình là khoảng 51.43 phút. b) Đúng, khoảng biến thiên là 100. c) Sai, mốt thuộc nhóm [40; 60). d) Đúng, trung vị thuộc nhóm [40; 60). Câu 2. a) Ta có: \[ \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} \] Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \( 2 : 1 \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{A'G} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}) \] Nhân cả hai vế với 3 ta được: \[ 3 \overrightarrow{A'G} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} \] Do đó: \[ \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'G} \] b) Ta có: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} \] Trong hình lập phương, ta có: \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}, \quad \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CC'} \] Ta thấy rằng: \[ -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BD'} \] c) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \] Trong hình lập phương, \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) là hai vectơ vuông góc với nhau. Do đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot a \cdot 0 = 0 \] d) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Trong hình lập phương, \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \) là hai vectơ không cùng phương và không vuông góc với nhau. Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{AC} \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai