giải chi tiết nhất

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\sqrt[7]{x+1}$ xác định khi $x + 1 > 0$, tức là $x > -1$. - Biểu thức $\sqrt{x+4}$ xác định khi $x + 4 \geq 0$, tức là $x \geq -4$. - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là $x > -1$. 2. Rút gọn biểu thức: - Ta cần nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để dễ dàng tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} - 2} \right) \] - Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} + 2$: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x (\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} + 2)}{(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} - 2)(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} + 2)} \right) \] - Mẫu số trở thành: \[ (\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4})^2 - 2^2 = (\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4})^2 - 4 \] 3. Tính giới hạn: - Thay $x = 0$ vào biểu thức đã rút gọn: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x (\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} + 2)}{(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4})^2 - 4} \right) \] - Khi $x \to 0$, ta có: \[ \sqrt[7]{x+1} \to \sqrt[7]{1} = 1 \] \[ \sqrt{x+4} \to \sqrt{4} = 2 \] - Thay vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x (1 \cdot 2 + 2)}{(1 \cdot 2)^2 - 4} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x (2 + 2)}{4 - 4} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4x}{0} \right) \] - Điều này cho thấy mẫu số tiến đến 0, nhưng tử số cũng tiến đến 0. Do đó, ta cần áp dụng quy tắc L'Hôpital hoặc tiếp tục biến đổi biểu thức. 4. Áp dụng quy tắc L'Hôpital: - Ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} - 2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\frac{d}{dx}(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} - 2)} \right) \] - Tính đạo hàm của mẫu số: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4}) = \frac{1}{7}(x+1)^{-\frac{6}{7}} \cdot \sqrt{x+4} + \frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{7}} \cdot (x+4)^{-\frac{1}{2}} \] - Thay $x = 0$ vào đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4}) \bigg|_{x=0} = \frac{1}{7} \cdot 1^{-\frac{6}{7}} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \] - Tổng lại: \[ \frac{2}{7} + \frac{1}{4} = \frac{8}{28} + \frac{7}{28} = \frac{15}{28} \] - Vậy giới hạn là: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt[7]{x+1} \cdot \sqrt{x+4} - 2} \right) = \frac{28}{15} \] 5. Tính tổng $L = a + b$: - Ta có $\frac{a}{b} = \frac{28}{15}$, suy ra $a = 28$ và $b = 15$. - Vậy $L = a + b = 28 + 15 = 43$. Đáp án đúng là: A. $L = 43$.