chỉ tôi từng bước làm PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn,Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{\log_37}=27,b^{\log_711}=49,c^{\log_{11}25}=\sqrt{11}.$,Tính giá trị của biểu thức $P=a^{\log^2_37}+b^{\log^2_711}+c^{\log^2_{11}25}$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính giá trị của biểu thức $ P = a^{\log^2_3 7} + b^{\log^2_7 11} + c^{\log^2_{11} 25} $, ta sẽ lần lượt tính từng phần của biểu thức này dựa trên các điều kiện đã cho.

Trước tiên, ta xét từng biến số $a$, $b$, và $c$ theo các điều kiện đã cho:
1. $ a^{\log_3 7} = 27 $
2. $ b^{\log_7 11} = 49 $
3. $ c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11} $

Bước 1: Tính $ a^{\log^2_3 7} $
Ta có:
$$ a^{\log_3 7} = 27 $$
Lấy lôgarit cơ sở 3 của cả hai vế:
$$ \log_3 (a^{\log_3 7}) = \log_3 27 $$
$$ (\log_3 7) \cdot (\log_3 a) = 3 $$
$$ \log_3 a = \frac{3}{\log_3 7} $$

Bây giờ, ta cần tính $ a^{\log^2_3 7} $:
$$ a^{\log^2_3 7} = (a^{\log_3 7})^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7} $$

Ta biết rằng $ 27 = 3^3 $, do đó:
$$ 27^{\log_3 7} = (3^3)^{\log_3 7} = 3^{3 \cdot \log_3 7} = 3^{\log_3 7^3} = 7^3 = 343 $$

Bước 2: Tính $ b^{\log^2_7 11} $
Ta có:
$$ b^{\log_7 11} = 49 $$
Lấy lôgarit cơ sở 7 của cả hai vế:
$$ \log_7 (b^{\log_7 11}) = \log_7 49 $$
$$ (\log_7 11) \cdot (\log_7 b) = 2 $$
$$ \log_7 b = \frac{2}{\log_7 11} $$

Bây giờ, ta cần tính $ b^{\log^2_7 11} $:
$$ b^{\log^2_7 11} = (b^{\log_7 11})^{\log_7 11} = 49^{\log_7 11} $$

Ta biết rằng $ 49 = 7^2 $, do đó:
$$ 49^{\log_7 11} = (7^2)^{\log_7 11} = 7^{2 \cdot \log_7 11} = 7^{\log_7 11^2} = 11^2 = 121 $$

Bước 3: Tính $ c^{\log^2_{11} 25} $
Ta có:
$$ c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11} $$
Lấy lôgarit cơ sở 11 của cả hai vế:
$$ \log_{11} (c^{\log_{11} 25}) = \log_{11} \sqrt{11} $$
$$ (\log_{11} 25) \cdot (\log_{11} c) = \frac{1}{2} $$
$$ \log_{11} c = \frac{1}{2 \log_{11} 25} $$

Bây giờ, ta cần tính $ c^{\log^2_{11} 25} $:
$$ c^{\log^2_{11} 25} = (c^{\log_{11} 25})^{\log_{11} 25} = (\sqrt{11})^{\log_{11} 25} $$

Ta biết rằng $ \sqrt{11} = 11^{\frac{1}{2}} $, do đó:
$$ (\sqrt{11})^{\log_{11} 25} = (11^{\frac{1}{2}})^{\log_{11} 25} = 11^{\frac{1}{2} \cdot \log_{11} 25} = 11^{\log_{11} 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 $$

Kết luận
Cuối cùng, ta cộng các giá trị đã tính:
$$ P = a^{\log^2_3 7} + b^{\log^2_7 11} + c^{\log^2_{11} 25} = 343 + 121 + 5 = 469 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$ \boxed{469} $$