giúp mình với Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$ Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2.f(x^3+\frac1x)$ tại,điểm có hoành độ bằng 1 là $ax-9y+c=0.$ Tính $a-c.$,Câu 2: Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t)=t^3+3t^2-t+2~(s(t)$ là quãng đường tính bằng,mét, t là thời gian tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây là $a~m/s.$ Tìm a.,Câu 3: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng AC' và CD' (tính theo đơn vị,độ).,Câu 4: Hai người A và B cùng nhau chơi một trận đấu tennis diễn ra tối đa 5 sét đấu. Người nào thắng 3 sét,trước sẽ thắng trận đấu. Biết xác suất giành chiến thắng mỗi sét của A là 0,4. Tính xác suất để A là người,thắng trận thi đấu tennis này (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2cm, độ dài cạnh bên bằng 4,cm. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng $\frac{\sqrt a}bcm,$ với a, b là các số nguyên tố. Tính $5a+2b.$,2

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Đầu tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$:
$$ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} \right)' = \frac{(x^2 + 1)'(x + 1) - (x^2 + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}. $$

Tiếp theo, ta xét hàm số $g(x) = x^2 \cdot f(x^3 + \frac{1}{x})$. Ta cần tìm đạo hàm của $g(x)$ tại điểm $x = 1$:
$$ g(x) = x^2 \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}). $$
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích và chuỗi, ta có:
$$ g'(x) = 2x \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}) + x^2 \cdot f'(x^3 + \frac{1}{x}) \cdot (3x^2 - \frac{1}{x^2}). $$

Tại điểm $x = 1$, ta có:
$$ g(1) = 1^2 \cdot f(1^3 + \frac{1}{1}) = f(2). $$
$$ f(2) = \frac{2^2 + 1}{2 + 1} = \frac{4 + 1}{3} = \frac{5}{3}. $$

Bây giờ, ta tính $g'(1)$:
$$ g'(1) = 2 \cdot 1 \cdot f(2) + 1^2 \cdot f'(2) \cdot (3 \cdot 1^2 - \frac{1}{1^2}) = 2 \cdot \frac{5}{3} + f'(2) \cdot (3 - 1) = \frac{10}{3} + 2 \cdot f'(2). $$

Ta cần tính $f'(2)$:
$$ f'(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 1}{(2 + 1)^2} = \frac{4 + 4 - 1}{9} = \frac{7}{9}. $$

Do đó:
$$ g'(1) = \frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{7}{9} = \frac{10}{3} + \frac{14}{9} = \frac{30}{9} + \frac{14}{9} = \frac{44}{9}. $$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = g(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
$$ y - g(1) = g'(1)(x - 1). $$
$$ y - \frac{5}{3} = \frac{44}{9}(x - 1). $$
$$ y = \frac{44}{9}x - \frac{44}{9} + \frac{5}{3}. $$
$$ y = \frac{44}{9}x - \frac{44}{9} + \frac{15}{9}. $$
$$ y = \frac{44}{9}x - \frac{29}{9}. $$

Để viết phương trình này dưới dạng $ax - 9y + c = 0$, ta nhân cả hai vế với 9:
$$ 9y = 44x - 29. $$
$$ 44x - 9y - 29 = 0. $$

So sánh với phương trình $ax - 9y + c = 0$, ta có $a = 44$ và $c = -29$. Do đó:
$$ a - c = 44 - (-29) = 44 + 29 = 73. $$

Đáp số: $a - c = 73$.

Câu 2:
Để tìm vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $ t = 2 $ giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình quãng đường $ s(t) $ theo thời gian $ t $.

Phương trình quãng đường là:
$$ s(t) = t^3 + 3t^2 - t + 2 $$

Ta tính đạo hàm của $ s(t) $:
$$ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 - t + 2) $$
$$ v(t) = 3t^2 + 6t - 1 $$

Bây giờ, ta thay $ t = 2 $ vào phương trình vận tốc tức thời:
$$ v(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 1 $$
$$ v(2) = 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 1 $$
$$ v(2) = 12 + 12 - 1 $$
$$ v(2) = 23 $$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $ t = 2 $ giây là $ 23 \, m/s $.

Đáp số: $ a = 23 $

Câu 3:
Để tính góc giữa hai đường thẳng AC' và CD', ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương:
   Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 và được đặt trong hệ tọa độ Oxyz sao cho:
   - A(0, 0, 0)
   - B(1, 0, 0)
   - C(1, 1, 0)
   - D(0, 1, 0)
   - A'(0, 0, 1)
   - B'(1, 0, 1)
   - C'(1, 1, 1)
   - D'(0, 1, 1)

2. Tìm vectơ của các đường thẳng AC' và CD':
   - Vectơ AC' = C' - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)
   - Vectơ CD' = D' - C = (0, 1, 1) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 1)

3. Tính tích vô hướng của hai vectơ AC' và CD':
   $$
   AC' \cdot CD' = (1, 1, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0
   $$

4. Tính độ dài của hai vectơ AC' và CD':
   $$
   |AC'| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
   $$
   $$
   |CD'| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
   $$

5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ AC' và CD':
   $$
   \cos(\theta) = \frac{AC' \cdot CD'}{|AC'| \cdot |CD'|} = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0
   $$

6. Tính góc θ:
   $$
   \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ
   $$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC' và CD' là 90 độ.

Câu 4:
Xác suất để A thắng trận đấu tennis này là xác suất để A thắng 3 sét trước trong tối đa 5 sét đấu.

A có thể thắng trận đấu với các trường hợp sau:

- A thắng 3 sét đầu tiên liên tiếp.
- A thắng 3 sét trong 4 sét đầu tiên và thắng sét thứ 5.
- A thắng 2 sét trong 4 sét đầu tiên và thắng sét thứ 5.

Xác suất để A thắng 3 sét đầu tiên liên tiếp là:

$$ P_1 = 0,4^3 = 0,064 $$

Xác suất để A thắng 3 sét trong 4 sét đầu tiên và thắng sét thứ 5 là:

$$ P_2 = \binom{3}{2} \times 0,4^3 \times 0,6 = 3 \times 0,4^3 \times 0,6 = 3 \times 0,064 \times 0,6 = 0,1152 $$

Xác suất để A thắng 2 sét trong 4 sét đầu tiên và thắng sét thứ 5 là:

$$ P_3 = \binom{4}{2} \times 0,4^3 \times 0,6^2 = 6 \times 0,4^3 \times 0,6^2 = 6 \times 0,064 \times 0,36 = 0,13824 $$

Tổng xác suất để A thắng trận đấu là:

$$ P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,064 + 0,1152 + 0,13824 = 0,31744 $$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là:

$$ P \approx 0,32 $$

Đáp số: 0,32

Câu 5:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và vectơ:
   - Gọi O là tâm của đáy ABCD, do đó O cũng là trung điểm của AC.
   - Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD, do đó H trùng với O.
   - Ta có vectơ $\overrightarrow{SB}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$.

2. Tính toán các vectơ:
   - Vì ABCD là hình vuông cạnh 2 cm, nên OA = OB = OC = OD = $\sqrt{2}$ cm.
   - Độ dài SO = $\sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 2} = \sqrt{14}$ cm.
   - Vectơ $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}$.
   - Vectơ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC.
   - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng:
     $$
     d(SB, AC) = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC})|}{|\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC}|}
     $$
   - Ta có $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}$.
   - Tính $\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC}$:
     $$
     \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     0 & \sqrt{14} & -\sqrt{2} \
     0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}
     \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{14}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{2}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = \mathbf{i}(2\sqrt{7} + 2)
     $$
   - Tính $\overrightarrow{SA} \cdot (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC})$:
     $$
     \overrightarrow{SA} \cdot (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC}) = \begin{pmatrix} 0 \ \sqrt{14} \ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\sqrt{7} + 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} = 0
     $$
   - Tính $|\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC}|$:
     $$
     |\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC}| = |2\sqrt{7} + 2|
     $$

4. Kết luận:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là $\frac{\sqrt{14}}{2}$ cm.
   - Do đó, $a = 14$ và $b = 2$.
   - Vậy $5a + 2b = 5 \times 14 + 2 \times 2 = 70 + 4 = 74$.

Đáp số: $74$.