VẼ HÌNH LUÔN Ạ 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi biết AB = 5a góc ABC bằng 60 độ SB = 10a, SA vuông góc với đáy a. tính khoảng cách từ D đến mặt (SAC) b. tính thể tích khối chóp c. tính k...

lee sooin

1. Hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi, AB = 5a, ∠ABC = 60°, SA ⊥ (ABCD), SB = 10a

Gọi O là giao điểm AC và BD. Vì ABCD là hình thoi, nên AC ⊥ BD tại O.

a. Khoảng cách từ D đến mặt (SAC)

Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ AC, SA ⊥ AD ⇒ mặt (SAC) vuông góc đáy theo hướng SA.

Dựng DH ⊥ (SAC), ta cần tìm đoạn DH.

Gọi H là hình chiếu của D lên mặt (SAC).

Vì (SAC) chứa SA ⊥ đáy, nên D projected lên (SAC) theo phương vuông góc → DH ⊥ mặt (SAC).

Vì ABCD là hình thoi có AB = 5a, ∠ABC = 60° → tam giác ABC đều cạnh 5a ⇒ AC = 5a.

Trong hình thoi, AC ⊥ BD tại O ⇒ tam giác ABD cân tại A với AB = AD = 5a, ∠DAB = 60° ⇒ tam giác đều ⇒ BD = 5a.

Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, thì khoảng cách từ D đến (SAC) chính là khoảng cách từ D đến mặt phẳng chứa tam giác đều SAC vuông góc đáy tại A.

Vì SA ⊥ đáy ⇒ (SAC) ⊥ mặt đáy theo SA.

Dựng mặt phẳng qua D song song với (SAC), cắt SA tại H ⇒ DH ⊥ (SAC)

Dễ thấy DH = khoảng cách từ D đến (SAC)

Dựng tọa độ:

Cho A(0;0;0), B(5a;0;0), vì ∠ABC = 60° và ABCD là hình thoi ⇒ C(2.5a; 2.5a√3;0), D(-2.5a; 2.5a√3; 0)

S(0;0;h), SB = 10a → tọa độ B là (5a;0;0), S(0;0;h), nên:

SB² = (5a)² + h² = 100a² → 25a² + h² = 100a² → h = √75a = 5a√3

⇒ S(0;0;5a√3)

Ta cần tìm khoảng cách từ điểm D(–2.5a; 2.5a√3; 0) đến mặt phẳng (SAC)

3 điểm S, A, C lần lượt:

S(0;0;5a√3), A(0;0;0), C(2.5a; 2.5a√3; 0)

→ vector SA = (0;0;5a√3), SC = (2.5a; 2.5a√3; –5a√3)

→ vector pháp tuyến mặt (SAC) là tích có hướng:

n = SA × SC = |i    j     k|

                   |0    0   5a√3|

                   |2.5a 2.5a√3 –5a√3|

→ n = (–12.5a², 12.5a²√3, 0)

Phương trình mặt (SAC): –12.5a²(x – 0) + 12.5a²√3(y – 0) = 0 ⇒ –x + √3y = 0

Khoảng cách từ D(–2.5a; 2.5a√3; 0) đến mặt (SAC):

d = |–(–2.5a) + √3·2.5a√3| / √(1 + 3) = |2.5a + 7.5a| / 2 = 10a/2 = 5a

b. Thể tích khối chóp SABCD

Đáy là hình thoi, AB = 5a, ∠ABC = 60° → diện tích đáy = AB·AD·sin(60°) = 25a²·√3/2

SA = 5a√3 (đã tính)

V = 1/3·S_đáy·SA = 1/3·25a²·√3/2·5a√3 = 1/3·25a²·5a·3/2 = 125a³·1.5 = 187.5a³

c. Khoảng cách từ A đến mặt (SBC)

A(0;0;0), mặt (SBC) xác định bởi S(0;0;5a√3), B(5a;0;0), C(2.5a; 2.5a√3; 0)

Tính thể tích khối tứ diện ABSC và chia cho diện tích tam giác SBC

Dùng công thức khoảng cách từ điểm A đến mặt (SBC):

D = 3·V(ABSC)/S(SBC)

V(ABSC) = 1/6 · |(AB × AC) · AS|

AB = (5a; 0; 0), AC = (2.5a; 2.5a√3; 0), AS = (0; 0; 5a√3)

AB × AC = (0; 0; 12.5a²√3), dot AS = 12.5a²√3·5a√3 = 12.5a²·5a·3 = 187.5a³

V = 1/6·187.5a³ = 31.25a³

Tam giác SBC: SB = 10a, SC = √[(2.5a)² + (2.5a√3)² + (–5a√3)²] = √[6.25a² + 18.75a² + 75a²] = √100a² = 10a

Góc giữa SB và SC là 60° ⇒ diện tích tam giác SBC = 1/2·10a·10a·sin(60°) = 50a²·√3/2 = 25a²√3

D = 3·31.25a³ / 25a²√3 = 3.75a / √3 = 1.25a√3

d. Khoảng cách từ CD đến SB

CD và SB không đồng phẳng, ta tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.

Dựng mặt phẳng chứa CD và vuông góc SB.

Tọa độ CD: D(–2.5a; 2.5a√3; 0), C(2.5a; 2.5a√3; 0)

→ vector CD = (5a; 0; 0)

Vector SB = (5a; 0; –5a√3)

Vector pháp tuyến mặt chứa CD và vuông góc SB là tích có hướng của CD và SB:

n = CD × SB = |i    j     k|

                   |5a   0    0|

                   |5a   0 –5a√3| = (0; 25a²√3; 0)

Phương trình mặt (P) qua CD và vuông góc SB: đi qua điểm C ⇒ 25a²√3(y – 2.5a√3) = 0 ⇒ y = 2.5a√3

Khoảng cách từ điểm S(0;0;5a√3) đến mặt y = 2.5a√3 là:

d = |0 – 2.5a√3| = 2.5a√3

2. Hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', AB = a, góc nhị diện (A',BC,A) = 30°

Vì là lăng trụ đều ⇒ đáy là tam giác đều, chiều cao h tạo với đáy góc 30°

a. Thể tích lăng trụ

Diện tích đáy tam giác đều cạnh a là S = a²√3/4

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 30° ⇒ chiều cao = h = a·cos(30°) = a·√3/2

⇒ V = S·h = (a²√3/4)·(a√3/2) = a³·3/8 = 3a³/8

b. Khoảng cách từ A đến mặt (A'BC)

Mặt (A'BC) chứa cạnh nghiêng A'A, cần tìm khoảng cách từ A đến mặt chứa BC và đỉnh A' ⇒ chính là chiều cao vuông góc mặt đó, tức:

d = AA'·sin(30°) = a·sin(30°) = a·1/2 = a/2

c. Khoảng cách từ AA' đến BB'C'C'

2 đường thẳng song song và thuộc hai mặt bên đối diện ⇒ khoảng cách bằng khoảng cách giữa hai mặt bên.

Khoảng cách giữa 2 cạnh AA' và BB' = khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song cách nhau bằng cạnh đáy đối diện = cạnh đáy × sin(60°)

Khoảng cách = a·sin(60°) = a·√3/2 = a√3/2