Cho hàm số f(x) = x^2+3x/x-1. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (4; dương vô cùng) b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường...

Để giải quyết các mệnh đề về hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (4; dương vô cùng) Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x - 1) - (x^2 + 3x)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Phân tích mẫu số: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Để xác định dấu của đạo hàm, ta xét các khoảng: - \( x < -1 \): \( f'(x) < 0 \) - \( -1 < x < 1 \): \( f'(x) > 0 \) - \( 1 < x < 3 \): \( f'(x) < 0 \) - \( x > 3 \): \( f'(x) > 0 \) Vậy trên khoảng \( (4; +\infty) \), đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. Mệnh đề a) Đúng. b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị Ta đã tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Điểm cực trị xảy ra khi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: - \( f'(x) = 0 \) tại \( x = 3 \) và \( x = -1 \) - \( f'(x) \) không xác định tại \( x = 1 \) Tuy nhiên, \( x = 1 \) không thuộc miền xác định của hàm số, do đó không phải là điểm cực trị. Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - \( x < -1 \): \( f'(x) < 0 \) - \( -1 < x < 1 \): \( f'(x) > 0 \) - \( 1 < x < 3 \): \( f'(x) < 0 \) - \( x > 3 \): \( f'(x) > 0 \) Vậy hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Mệnh đề b) Đúng. c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng ∆: y = x + 4 Ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử và mẫu cho \( x \): \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{x + 3 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \pm \infty \): \[ f(x) \approx x + 4 \] Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x + 4 \). Mệnh đề c) Đúng. d) Khi m > 9 thì phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt Ta xét phương trình: \[ \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = m \] \[ x^2 + 3x = m(x - 1) \] \[ x^2 + 3x = mx - m \] \[ x^2 + (3 - m)x + m = 0 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, дискриминант должен быть больше нуля: \[ D = (3 - m)^2 - 4m > 0 \] \[ 9 - 6m + m^2 - 4m > 0 \] \[ m^2 - 10m + 9 > 0 \] \[ (m - 1)(m - 9) > 0 \] Giải bất phương trình: - \( m < 1 \) hoặc \( m > 9 \) Vậy khi \( m > 9 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Mệnh đề d) Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng