Sosss mị vs a

Câu 3. Để tìm thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng dân số là lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( p(t) \) và tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm này đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm của \( p(t) \). \[ p(t) = \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 7e^{-0.2t}) \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot (-1.4e^{-0.2t}) \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{1.4e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \] \[ p'(t) = \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) để \( p'(t) \) đạt cực đại. Để tìm cực đại của \( p'(t) \), ta cần tính đạo hàm của \( p'(t) \) và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0. \[ p''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p''(t) = 1120 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 7e^{-0.2t})^2)}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot (-0.2e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot 2(1 + 7e^{-0.2t}) \cdot (-0.2 \cdot 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t})^2 + 2.8e^{-0.4t}(1 + 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t}) + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} - 1.4e^{-0.4t} + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] \[ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) \] Đặt \( p''(t) = 0 \): \[ -0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t} = 0 \] \[ 1.4e^{-0.4t} = 0.2e^{-0.2t} \] \[ 7e^{-0.4t} = e^{-0.2t} \] \[ 7 = e^{0.2t} \] \[ \ln(7) = 0.2t \] \[ t = \frac{\ln(7)}{0.2} \approx 12 \] Vậy thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng dân số là lớn nhất là \( t \approx 12 \). Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về năng suất của máy A và máy B, cụ thể là thời gian mà mỗi máy cần để hoàn thành công việc nếu làm riêng lẻ. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta đã biết những thông tin này, chúng ta sẽ tiếp tục giải bài toán theo các bước sau: Bước 1: Xác định năng suất của máy A và máy B. Giả sử máy A hoàn thành công việc trong \( t_A \) ngày và máy B hoàn thành công việc trong \( t_B \) ngày. Bước 2: Tính năng suất của máy A và máy B. - Năng suất của máy A là \( \frac{1}{t_A} \) công việc/ngày. - Năng suất của máy B là \( \frac{1}{t_B} \) công việc/ngày. Bước 3: Tính tổng năng suất của cả hai máy khi làm cùng nhau. Tổng năng suất của máy A và máy B là: \[ \frac{1}{t_A} + \frac{1}{t_B} = \frac{t_A + t_B}{t_A \cdot t_B} \] Bước 4: Xác định thời gian cần thiết để hoàn thành công việc khi cả hai máy làm cùng nhau. Thời gian cần thiết để hoàn thành công việc khi cả hai máy làm cùng nhau là: \[ \frac{1}{\frac{t_A + t_B}{t_A \cdot t_B}} = \frac{t_A \cdot t_B}{t_A + t_B} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện để hoàn thành công việc trong đúng 10 ngày. Để hoàn thành công việc trong đúng 10 ngày, ta cần: \[ \frac{t_A \cdot t_B}{t_A + t_B} = 10 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm \( t_A \) và \( t_B \). Giả sử ta biết \( t_A \) và \( t_B \) cụ thể, ta có thể thay vào phương trình trên để kiểm tra. Ví dụ, nếu \( t_A = 15 \) ngày và \( t_B = 30 \) ngày, ta có: \[ \frac{15 \cdot 30}{15 + 30} = \frac{450}{45} = 10 \] Như vậy, máy A và máy B có thể hoàn thành công việc trong đúng 10 ngày khi làm cùng nhau. Kết luận: Để hoàn thành công việc trong đúng 10 ngày, máy A và máy B cần có năng suất phù hợp sao cho tổng năng suất của cả hai máy là \( \frac{1}{10} \) công việc/ngày.