Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng phân biệt thoả mãn mỗi một đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có diện tích tỉ lệ với 3 và 4. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 đường thẳng đồng quy t...

Giả sử tồn tại 2 đường thẳng chia hình vuông thành 2 phần có diện tích tỉ lệ với 3 và 4 đồng quy tại 1 điểm nằm trong hình vuông. Ta gọi giao điểm này là O. Ta có diện tích S(OAB) + S(OBC) + S(OCD) + S(DAO) = S(ABCD). Mà S(OAB) + S(OBC) + S(OCD) + S(DAO) = $\frac{3}{7}$ × S(ABO) + $\frac{3}{7}$ × S(BOC) + $\frac{3}{7}$ × S(COD) + $\frac{3}{7}$ × S(DOA) = $\frac{3}{7}$ × S(ABCD). Suy ra S(ABCD) = $\frac{3}{7}$ × S(ABCD) (loại). Vậy giao điểm phải nằm ngoài hình vuông. Xét 9 đường thẳng chia hình vuông thành 2 phần có diện tích tỉ lệ với 3 và 4 thì có 18 phía. Mỗi phía có 9 đường thẳng. Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 1 phía có 5 đường thẳng. Xét 5 đường thẳng này chia hình vuông thành 2 phần có diện tích tỉ lệ với 3 và 4 thì có 10 phía. Mỗi phía có 5 đường thẳng. Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 1 phía có 3 đường thẳng. Vậy suy ra có ít nhất 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm.