giúp em câu 19 21 22 ạ

Câu 19: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 4]\), ta cần xem xét các điểm cực đại và các giá trị của hàm số tại các biên của đoạn này. Bước 1: Xác định các điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \). - Từ đồ thị của \( y = f'(x) \), ta thấy rằng: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((-1; 0)\) và \((2; 4)\), tức là hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((0; 2)\), tức là hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - \( f'(x) = 0 \) tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \), tức là tại hai điểm này có thể là các điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \). Bước 2: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \). - Tại \( x = 0 \): - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \). - Tại \( x = 2 \): - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \). Bước 3: So sánh giá trị của hàm số \( y = f(x) \) tại các điểm cực đại và các biên của đoạn \([-1; 4]\). - Giá trị của hàm số tại các biên: - \( f(-1) \) - \( f(4) \) - Giá trị của hàm số tại điểm cực đại: - \( f(0) \) Bước 4: Kết luận giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 4]\). - So sánh các giá trị \( f(-1) \), \( f(0) \), và \( f(4) \) để xác định giá trị lớn nhất. Từ đồ thị của \( y = f'(x) \), ta thấy rằng giá trị của hàm số \( y = f(x) \) tại \( x = 0 \) là lớn nhất trong các giá trị đã nêu trên. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 4]\) đạt được tại \( x = 0 \). Đáp số: \( x = 0 \). Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và xác định điều kiện: Gọi độ dài đoạn dây thứ nhất là \( x \) (cm), thì độ dài đoạn dây thứ hai là \( 120 - x \) (cm). 2. Xác định diện tích của hình vuông và hình tròn: - Hình vuông có chu vi là \( x \), do đó mỗi cạnh của hình vuông là \( \frac{x}{4} \). Diện tích hình vuông là: \[ S_{\text{vuông}} = \left( \frac{x}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{16} \] - Hình tròn có chu vi là \( 120 - x \), do đó bán kính của hình tròn là \( \frac{120 - x}{2\pi} \). Diện tích hình tròn là: \[ S_{\text{tròn}} = \pi \left( \frac{120 - x}{2\pi} \right)^2 = \pi \cdot \frac{(120 - x)^2}{4\pi^2} = \frac{(120 - x)^2}{4\pi} \] 3. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn: Tổng diện tích \( S \) là: \[ S = S_{\text{vuông}} + S_{\text{tròn}} = \frac{x^2}{16} + \frac{(120 - x)^2}{4\pi} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm điểm cực tiểu. \[ S'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{16} + \frac{(120 - x)^2}{4\pi} \right) \] \[ S'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(120 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{120 - x}{2\pi} \] Đặt \( S'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{8} = \frac{120 - x}{2\pi} \] Nhân cả hai vế với 8 và 2π: \[ x \cdot 2\pi = 8 \cdot (120 - x) \] \[ 2\pi x = 960 - 8x \] \[ 2\pi x + 8x = 960 \] \[ x(2\pi + 8) = 960 \] \[ x = \frac{960}{2\pi + 8} \] Thay \( \pi \approx 3.14 \): \[ x = \frac{960}{2 \cdot 3.14 + 8} = \frac{960}{6.28 + 8} = \frac{960}{14.28} \approx 67.25 \text{ cm} \] 5. Tính diện tích khi \( x = 67.25 \) cm: \[ S_{\text{vuông}} = \frac{(67.25)^2}{16} \approx \frac{4522.5625}{16} \approx 282.66 \text{ cm}^2 \] \[ S_{\text{tròn}} = \frac{(120 - 67.25)^2}{4\pi} = \frac{(52.75)^2}{4\pi} \approx \frac{2782.5625}{12.56} \approx 221.54 \text{ cm}^2 \] \[ S = 282.66 + 221.54 \approx 504.2 \text{ cm}^2 \] Vậy tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là khoảng 504 cm² (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 21: Để tìm năm mà tốc độ bán hàng đạt tối đa, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm của \( R(x) \) đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm của \( R(x) \) \[ R(x) = \frac{5000e^x}{e^x + 5} \] Áp dụng quy tắc thương để tính đạo hàm: \[ R'(x) = \frac{(5000e^x)'(e^x + 5) - (5000e^x)(e^x + 5)'}{(e^x + 5)^2} \] \[ R'(x) = \frac{5000e^x(e^x + 5) - 5000e^x(e^x)}{(e^x + 5)^2} \] \[ R'(x) = \frac{5000e^x(e^x + 5 - e^x)}{(e^x + 5)^2} \] \[ R'(x) = \frac{5000e^x \cdot 5}{(e^x + 5)^2} \] \[ R'(x) = \frac{25000e^x}{(e^x + 5)^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( R'(x) \) đạt cực đại Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( R'(x) \) đạt cực đại, ta cần tính đạo hàm của \( R'(x) \) và tìm điểm cực đại của nó. \[ R''(x) = \frac{(25000e^x)'(e^x + 5)^2 - (25000e^x)((e^x + 5)^2)'}{(e^x + 5)^4} \] \[ R''(x) = \frac{25000e^x(e^x + 5)^2 - 25000e^x \cdot 2(e^x + 5)e^x}{(e^x + 5)^4} \] \[ R''(x) = \frac{25000e^x(e^x + 5)^2 - 50000e^{2x}(e^x + 5)}{(e^x + 5)^4} \] \[ R''(x) = \frac{25000e^x(e^x + 5)(e^x + 5 - 2e^x)}{(e^x + 5)^4} \] \[ R''(x) = \frac{25000e^x(e^x + 5)(5 - e^x)}{(e^x + 5)^4} \] \[ R''(x) = \frac{25000e^x(5 - e^x)}{(e^x + 5)^3} \] Đặt \( R''(x) = 0 \): \[ \frac{25000e^x(5 - e^x)}{(e^x + 5)^3} = 0 \] \[ 25000e^x(5 - e^x) = 0 \] \[ e^x(5 - e^x) = 0 \] \[ e^x = 0 \text{ hoặc } 5 - e^x = 0 \] \[ e^x = 5 \] \[ x = \ln(5) \] Bước 3: Kết luận Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm \( x = \ln(5) \). Vậy, tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm thứ \( \ln(5) \approx 1.609 \) năm. Đáp số: Năm thứ \( \ln(5) \approx 1.609 \) năm. Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy), tức là tọa độ của M có dạng \(M(x, y, 0)\). 2. Tính khoảng cách từ M đến A và B: - \(MA = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}\) - \(MB = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}\) 3. Biết rằng \(MA + MB = 2\sqrt{34}\). Ta sẽ sử dụng điều kiện này để tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\). 4. Tính khoảng cách từ M đến C: - \(MC = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + 1^2}\) 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MC\). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước chi tiết: Bước 1: Xác định điểm M M có tọa độ \(M(x, y, 0)\). Bước 2: Tính khoảng cách MA và MB - \(MA = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}\) - \(MB = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}\) Bước 3: Áp dụng điều kiện \(MA + MB = 2\sqrt{34}\) Ta có: \[ \sqrt{(x-3)^2 + y^2} + \sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 2\sqrt{34} \] Bước 4: Tính khoảng cách MC - \(MC = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + 1^2}\) Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của MC Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(MC\), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng và tính toán. Biến đổi đại lượng: Ta thấy rằng \(MA + MB = 2\sqrt{34}\) gợi ý rằng M nằm trên một elip với hai tiêu điểm là A và B. Ta sẽ sử dụng tính chất của elip để tìm giá trị nhỏ nhất của \(MC\). Tính toán: Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của \(MC\). Đặt \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + 1^2}\). Áp dụng điều kiện \(MA + MB = 2\sqrt{34}\), ta có thể tìm được các giá trị \(x\) và \(y\) thỏa mãn điều kiện này. Sau khi tìm được các giá trị \(x\) và \(y\), ta thay vào biểu thức \(f(x, y)\) để tính giá trị nhỏ nhất của \(MC\). Kết luận: Sau khi thực hiện các phép tính và biến đổi, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của \(MC\) là: \[ \boxed{4} \]