Giúp mình với!

Bài 1 1.1. Thực hiện phép tính a) \(3x(x - 2y) - 3x^2 + 2xy\) Ta thực hiện phép nhân và phép trừ: \[ 3x(x - 2y) - 3x^2 + 2xy = 3x^2 - 6xy - 3x^2 + 2xy \] Gộp các hạng tử đồng dạng: \[ = (3x^2 - 3x^2) + (-6xy + 2xy) = 0 - 4xy = -4xy \] Vậy kết quả là: \[ -4xy \] b) \((15x^3y^2 - 6x^3) : 3x^2 - 5xy^2 - 2y + 5x\) Ta thực hiện phép chia trước: \[ (15x^3y^2 - 6x^3) : 3x^2 = \frac{15x^3y^2}{3x^2} - \frac{6x^3}{3x^2} = 5xy^2 - 2x \] Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ: \[ 5xy^2 - 2x - 5xy^2 - 2y + 5x = (5xy^2 - 5xy^2) + (-2x + 5x) - 2y = 0 + 3x - 2y = 3x - 2y \] Vậy kết quả là: \[ 3x - 2y \] 1.2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) \(x^3 - 4x\) Ta nhận thấy \(x\) là thừa số chung của cả hai hạng tử: \[ x^3 - 4x = x(x^2 - 4) \] Phân tích tiếp \(x^2 - 4\) thành nhân tử: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Vậy kết quả là: \[ x(x - 2)(x + 2) \] b) \(x^2 - y^2 - 4x + 4\) Nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích: \[ x^2 - 4x + 4 - y^2 = (x^2 - 4x + 4) - y^2 \] Phân tích \(x^2 - 4x + 4\) thành bình phương: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Vậy ta có: \[ (x - 2)^2 - y^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ (x - 2)^2 - y^2 = (x - 2 - y)(x - 2 + y) \] Vậy kết quả là: \[ (x - 2 - y)(x - 2 + y) \] Bài 2 2.1. Tìm x, biết: a) \(4x(x-3)-6(3-x)=0\) b) \((3x-1)(x^2+4)-(3x-1)^2=0\) a) \(4x(x-3)-6(3-x)=0\) \(4x(x-3)+6(x-3)=0\) (vì \(3-x = -(x-3)\)) \((x-3)(4x+6)=0\) \(x-3=0\) hoặc \(4x+6=0\) \(x=3\) hoặc \(4x=-6\) \(x=3\) hoặc \(x=-\frac{3}{2}\) b) \((3x-1)(x^2+4)-(3x-1)^2=0\) \((3x-1)(x^2+4-(3x-1))=0\) \((3x-1)(x^2+4-3x+1)=0\) \((3x-1)(x^2-3x+5)=0\) \(3x-1=0\) hoặc \(x^2-3x+5=0\) \(3x=1\) hoặc \(x^2-3x+5=0\) \(x=\frac{1}{3}\) hoặc \(x^2-3x+5=0\) (vô nghiệm vì \(x^2-3x+5\) luôn dương) 2.2. Một nhà máy sản xuất lô áo gồm 300 chiếc áo với giá vốn là 45 000 000 (đồng) và giá bán mỗi chiếc áo sẽ là 250 000 (đồng). Khi đó gọi T (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) của nhà may thu được khi bán x chiếc áo. a) Viết công thức tính T theo x. Hỏi T có phải là hàm số bậc nhất của x hay không? b) Hỏi cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu? c) Để lời được 6 000 000 đồng thì cần phải bán bao nhiêu chiếc áo? a) Giá vốn của mỗi chiếc áo là: \[ \frac{45 000 000}{300} = 150 000 \text{ (đồng)} \] Số tiền bán x chiếc áo là: \[ 250 000 \times x \] Số tiền vốn của x chiếc áo là: \[ 150 000 \times x \] Số tiền lời (hoặc lỗ) T khi bán x chiếc áo là: \[ T = 250 000 \times x - 150 000 \times x = 100 000 \times x \] T là hàm số bậc nhất của x. b) Để thu hồi được vốn ban đầu, tức là T = 0: \[ 100 000 \times x = 0 \] \[ x = 0 \] Điều này không đúng vì nhà máy đã sản xuất 300 chiếc áo. Do đó, để thu hồi vốn ban đầu, nhà máy cần bán đủ 300 chiếc áo. c) Để lời được 6 000 000 đồng: \[ 100 000 \times x = 6 000 000 \] \[ x = \frac{6 000 000}{100 000} \] \[ x = 60 \] Đáp số: a) \( T = 100 000 \times x \) b) Cần bán 300 chiếc áo để thu hồi vốn ban đầu. c) Cần bán 60 chiếc áo để lời 6 000 000 đồng. Bài 3 a) Tính giá trị của A khi $x=2:$ Thay $x=2$ vào biểu thức $A,$ ta được: $A=\frac{2\times 2-3}{2-1}=\frac{4-3}{1}=1$ Vậy giá trị của biểu thức $A$ khi $x=2$ là 1. b) Chứng minh rằng biểu thức $B=\frac{x-1}{x+1}:$ $B=\frac x{x-1}+\frac3{x+1}+\frac{6x-4}{1-x^2}$ $=\frac x{x-1}+\frac3{x+1}-\frac{6x-4}{x^2-1}$ $=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{6x-4}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{x^2+x+3x-3-6x+4}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{x^2-2x+1}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{x-1}{x+1}$ Vậy $B=\frac{x-1}{x+1}$ c) Tìm các số nguyên dương x để biểu thức $P=A.B$ nhận giá trị là số nguyên: $P=A.B=\frac{2x-3}{x-1}\times \frac{x-1}{x+1}=\frac{2x-3}{x+1}$ $=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$ Để $P$ nhận giá trị là số nguyên thì $\frac{5}{x+1}$ phải là số nguyên. Mặt khác, $x$ là số nguyên dương nên $x+1>1.$ Do đó, $x+1$ là ước của 5 lớn hơn 1, suy ra $x+1=5.$ Vậy $x=4.$ Bài 4 4.1. Ta có ba vị trí: nhà An (A), nhà Bình (B), và nhà Châu (C) tạo thành một tam giác vuông. Để tính khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu (BC), ta sử dụng định lý Pythagoras. - Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Theo định lý Pythagoras: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) - Thay các giá trị đã biết: \( BC^2 = 30^2 + 40^2 \) - Tính toán: \( BC^2 = 900 + 1600 = 2500 \) - Do đó: \( BC = \sqrt{2500} = 50 \) Khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu là 50 m. 4.2. a) Chứng minh \( AH = EF \): - Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn: AHB và AHC. - Trong tam giác AHB, HE là đường cao hạ từ H xuống AB, do đó HE vuông góc với AB. - Trong tam giác AHC, HF là đường cao hạ từ H xuống AC, do đó HF vuông góc với AC. - Vì HE và HF đều là đường cao hạ từ H xuống các cạnh của tam giác ABC, nên HE và HF tạo thành tam giác vuông HEF. - Trong tam giác HEF, HE và HF là các đường cao hạ từ H xuống các cạnh của tam giác ABC, do đó HE = HF. - Do đó, \( AH = EF \). b) Chứng minh tứ giác EHMF là hình bình hành: - Gọi M là điểm đối xứng với A qua F, do đó AM = MF và AM vuông góc với MF. - Trong tam giác HEF, HE = HF và HE vuông góc với HF, do đó HEF là tam giác vuông cân tại H. - Vì M là điểm đối xứng với A qua F, nên AM = MF và AM vuông góc với MF. - Do đó, tứ giác EHMF có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó EHMF là hình bình hành. c) Chứng minh tứ giác AHMD là hình thoi và \( EF \bot CD \): - Gọi D là điểm đối xứng với H qua F, do đó HD = DF và HD vuông góc với DF. - Trong tam giác AHM, AM = MF và AM vuông góc với MF, do đó AHM là tam giác vuông cân tại A. - Vì D là điểm đối xứng với H qua F, nên HD = DF và HD vuông góc với DF. - Do đó, tứ giác AHMD có các cạnh bằng nhau và các góc nội tiếp bằng nhau, do đó AHMD là hình thoi. - Vì EF là đường cao hạ từ E xuống F và CD là đường cao hạ từ C xuống D, do đó EF vuông góc với CD. Đáp số: 4.1. Khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu là 50 m. 4.2. a) \( AH = EF \) b) Tứ giác EHMF là hình bình hành. c) Tứ giác AHMD là hình thoi và \( EF \bot CD \). Bài 5 Để tìm kích thước sân vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với 28m hàng rào, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng chiều dài các cạnh cần rào: - Sân vườn hình chữ nhật có ba cạnh cần rào (vì một cạnh sát nhà không cần rào). - Tổng chiều dài các cạnh cần rào là 28m. 2. Gọi chiều dài và chiều rộng: - Gọi chiều dài sân vườn là \( l \) (m). - Gọi chiều rộng sân vườn là \( w \) (m). 3. Lập phương trình tổng chiều dài các cạnh: - Tổng chiều dài các cạnh cần rào là: \( l + 2w = 28 \). 4. Biểu diễn diện tích sân vườn: - Diện tích sân vườn là: \( A = l \times w \). 5. Thay \( l \) từ phương trình tổng chiều dài các cạnh vào biểu thức diện tích: - Từ phương trình \( l + 2w = 28 \), ta có: \( l = 28 - 2w \). - Thay vào biểu thức diện tích: \( A = (28 - 2w) \times w = 28w - 2w^2 \). 6. Tìm giá trị \( w \) để diện tích lớn nhất: - Để diện tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( w \) sao cho biểu thức \( 28w - 2w^2 \) đạt giá trị lớn nhất. - Ta sử dụng phương pháp tìm cực đại của hàm bậc hai: \( A = -2(w^2 - 14w) \). - Biến đổi thành dạng chuẩn: \( A = -2((w - 7)^2 - 49) = -2(w - 7)^2 + 98 \). - Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi \( (w - 7)^2 = 0 \), tức là \( w = 7 \). 7. Tìm giá trị của \( l \): - Thay \( w = 7 \) vào phương trình \( l = 28 - 2w \): \( l = 28 - 2 \times 7 = 14 \). Vậy kích thước sân vườn để có diện tích lớn nhất là: - Chiều dài: 14m. - Chiều rộng: 7m. Đáp số: Chiều dài: 14m, Chiều rộng: 7m.