câu hỏi trong đề

Câu 11. a) Đúng vì $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nhau nên $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0$. b) Đúng vì $\overrightarrow{i}$ có độ dài bằng 1 nên $\overrightarrow{i}^2 = |\overrightarrow{i}|^2 = 1^2 = 1$. c) Sai vì $(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})^2 = \overrightarrow{i}^2 + 2\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \overrightarrow{j}^2 = 1 + 2 \cdot 0 + 1 = 2$, không phải -2. d) Đúng vì $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}) \cdot (3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}) = 4 \cdot 3 \cdot \overrightarrow{i}^2 + 4 \cdot (-1) \cdot \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + 6 \cdot 3 \cdot \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + 6 \cdot (-1) \cdot \overrightarrow{j}^2 = 12 + 0 + 0 - 6 = 6$. Nhưng theo đề bài, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -6$, do đó câu này sai. Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. Câu 12. Để kiểm tra các phát biểu đúng sai, chúng ta sẽ sử dụng các công thức và tính chất của tích vô hướng và vectơ trong tam giác. a) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\widehat{ABC})$ $|\overrightarrow{BA}| = AB = 1$, $|\overrightarrow{BC}| = BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$ $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ Do đó: $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ Phát biểu a) đúng. b) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$ Áp dụng định lý余弦定理计算$|\overrightarrow{AC}|$： $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$ $AC^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$ $AC^2 = 1 + 4 - 2 = 3$ 因此，$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$ 所以，b) 正确。 c) $(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) = 30^\circ$ 我们需要计算$\overrightarrow{CB}$和$\overrightarrow{CA}$之间的夹角。由于$\widehat{ABC} = 60^\circ$，我们可以使用向量的性质来确定这个角度。但是，根据题目条件，我们无法直接得出$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) = 30^\circ$。因此，需要进一步验证。 d) $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3\sqrt{3}$ 首先，我们需要计算$\overrightarrow{CA}$的模长。根据之前的计算，$AC = \sqrt{3}$。 然后，我们需要计算$\overrightarrow{CB}$和$\overrightarrow{CA}$之间的夹角。由于$\widehat{ABC} = 60^\circ$，我们可以推断出$\widehat{CBA} = 120^\circ$（因为三角形内角和为180度）。 $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(\widehat{CBA})$ $|\overrightarrow{CB}| = BC = 2$，$|\overrightarrow{CA}| = AC = \sqrt{3}$，$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\sqrt{3}$ 因此，d) 错误。 综上所述： a) 正确 b) 正确 c) 需要进一步验证 d) 错误 Câu 10. 1/ Tính $\overrightarrow a.\overrightarrow b$ Ta có: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b) \] Thay các giá trị đã cho: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = 3 \times 2 \times \cos 120^\circ = 3 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -3 \] 2/ Tính $(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 + (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2$ Ta có: \[ (\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 = |\overrightarrow a|^2 + 2 \overrightarrow a.\overrightarrow b + |\overrightarrow b|^2 \] \[ (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2 = |\overrightarrow a|^2 - 2 \overrightarrow a.\overrightarrow b + |\overrightarrow b|^2 \] Cộng hai biểu thức trên lại: \[ (\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 + (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2 = (|\overrightarrow a|^2 + 2 \overrightarrow a.\overrightarrow b + |\overrightarrow b|^2) + (|\overrightarrow a|^2 - 2 \overrightarrow a.\overrightarrow b + |\overrightarrow b|^2) \] \[ = 2|\overrightarrow a|^2 + 2|\overrightarrow b|^2 \] Thay các giá trị đã cho: \[ = 2 \times 3^2 + 2 \times 2^2 = 2 \times 9 + 2 \times 4 = 18 + 8 = 26 \] 3/ Tính $(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b)$ Ta có: \[ (\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b) = \overrightarrow a.2\overrightarrow a + \overrightarrow a.(-\overrightarrow b) + 2\overrightarrow b.2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b.(-\overrightarrow b) \] \[ = 2|\overrightarrow a|^2 - \overrightarrow a.\overrightarrow b + 4 \overrightarrow b.\overrightarrow a - 2|\overrightarrow b|^2 \] \[ = 2|\overrightarrow a|^2 - \overrightarrow a.\overrightarrow b + 4 \overrightarrow a.\overrightarrow b - 2|\overrightarrow b|^2 \] \[ = 2|\overrightarrow a|^2 + 3 \overrightarrow a.\overrightarrow b - 2|\overrightarrow b|^2 \] Thay các giá trị đã cho: \[ = 2 \times 3^2 + 3 \times (-3) - 2 \times 2^2 \] \[ = 2 \times 9 - 9 - 2 \times 4 \] \[ = 18 - 9 - 8 = 1 \] Đáp số: 1/ $\overrightarrow a.\overrightarrow b = -3$ 2/ $(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 + (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2 = 26$ 3/ $(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b) = 1$ Câu 11. Trước tiên, ta vẽ hình và xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC vuông tại A. - AB = a. - $\widehat{ACB} = 30^\circ$. Từ đây, ta biết rằng $\widehat{ABC} = 60^\circ$ vì tổng các góc trong tam giác là 180° và góc A là 90°. 1. Tính $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$: - Ta có $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. - Do đó, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BA}|^2 = a^2$. - $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot AC \cdot (-\frac{1}{2})$. - Vì $\widehat{ACB} = 30^\circ$, ta có $AC = a \sqrt{3}$. - Do đó, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$. - Kết quả: $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2 - \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2a^2 - a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 (2 - \sqrt{3})}{2}$. 2. Tính $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$: - Ta có $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$. - Do đó, $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CA}|^2 = (a \sqrt{3})^2 = 3a^2$. - $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$. - Kết quả: $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3a^2 + 0 = 3a^2$. 3. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: - Ta có $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$. - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$. - Do đó, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$. - Kết quả: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. Đáp số: 1. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{a^2 (2 - \sqrt{3})}{2}$. 2. $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3a^2$. 3. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.