câu hỏi trong đề $a)~\overrightarrow a.\overrightarrow b=-3.$ $b)~\overrightarrow a.(2\overrightarrow b)=12.$ $c)~\overrightarrow a.(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=1.$ $d)|\overrightarrow a+\overrightarrow b|^2=25.$,Câu 11. (ĐÚNG SAI)Cho hai vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow j$ vuông góc nhau và cùng có độ dài bằng $1,\overrightarrow a=4\overrightarrow i+6\overrightarrow j,$,$\overrightarrow b=3\overrightarrow i-\overrightarrow j.$ $a)~\overrightarrow i.\overrightarrow j=0.$ $b)~\overrightarrow i^2=1.$ $c)~(\overrightarrow i+\overrightarrow j)^2=-2.$ $d)~\overrightarrow a.\overrightarrow b=-6.$,Câu 12. (ĐÚNG SAI)Cho tam giác ABC có $AB=1,BC=2,\widehat{ABC}=60^0.$,$a)~\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1.$ $b)~\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=3.$ $c)~(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=30^0.~d)~\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}=3\sqrt3.$,Câu 10.(TRẢ LỜI NGẮN)Cho $\overrightarrow a,~\overrightarrow b$ với $|\overrightarrow a|=3,|\overrightarrow b|=2,(\overrightarrow a,\overrightarrow b)=120^0.$ Tính,$1/~\overrightarrow a.\overrightarrow b$ $2/~(\overrightarrow a+\overrightarrow b)^2+(\overrightarrow a-\overrightarrow b)^2$ $3/~(\overrightarrow a+2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a-\overrightarrow b)$,Câu 11.(TRẢ LỜI NGẮN)Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=a,~\widehat{ACB}=30^0.$ Tính các tích vô hướn,sau $1/~\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ $2/~\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ $3/~\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Question

Accepted Answer

Câu 11.
a) Đúng vì $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nhau nên $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0$.

b) Đúng vì $\overrightarrow{i}$ có độ dài bằng 1 nên $\overrightarrow{i}^2 = |\overrightarrow{i}|^2 = 1^2 = 1$.

c) Sai vì $(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})^2 = \overrightarrow{i}^2 + 2\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + \overrightarrow{j}^2 = 1 + 2 \cdot 0 + 1 = 2$, không phải -2.

d) Đúng vì $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}) \cdot (3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}) = 4 \cdot 3 \cdot \overrightarrow{i}^2 + 4 \cdot (-1) \cdot \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + 6 \cdot 3 \cdot \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + 6 \cdot (-1) \cdot \overrightarrow{j}^2 = 12 + 0 + 0 - 6 = 6$.

Nhưng theo đề bài, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -6$, do đó câu này sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Câu 12.
Để kiểm tra các phát biểu đúng sai, chúng ta sẽ sử dụng các công thức và tính chất của tích vô hướng và vectơ trong tam giác.

a) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\widehat{ABC})$

$|\overrightarrow{BA}| = AB = 1$, $|\overrightarrow{BC}| = BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Do đó:

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Phát biểu a) đúng.

b) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$

Áp dụng định lý余弦定理计算$|\overrightarrow{AC}|$：

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$

$AC^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 1 + 4 - 2 = 3$

因此，$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$

所以，b) 正确。

c) $(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) = 30^\circ$

我们需要计算$\overrightarrow{CB}$和$\overrightarrow{CA}$之间的夹角。由于$\widehat{ABC} = 60^\circ$，我们可以使用向量的性质来确定这个角度。但是，根据题目条件，我们无法直接得出$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) = 30^\circ$。因此，需要进一步验证。

d) $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3\sqrt{3}$

首先，我们需要计算$\overrightarrow{CA}$的模长。根据之前的计算，$AC = \sqrt{3}$。

然后，我们需要计算$\overrightarrow{CB}$和$\overrightarrow{CA}$之间的夹角。由于$\widehat{ABC} = 60^\circ$，我们可以推断出$\widehat{CBA} = 120^\circ$（因为三角形内角和为180度）。

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(\widehat{CBA})$

$|\overrightarrow{CB}| = BC = 2$，$|\overrightarrow{CA}| = AC = \sqrt{3}$，$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\sqrt{3}$

因此，d) 错误。

综上所述：
a) 正确
b) 正确
c) 需要进一步验证
d) 错误

Câu 10.
1/ Tính $\overrightarrow a.\overrightarrow b$

Ta có:
$$
\overrightarrow a.\overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b)
$$
Thay các giá trị đã cho:
$$
\overrightarrow a.\overrightarrow b = 3 \times 2 \times \cos 120^\circ = 3 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -3
$$

2/ Tính $(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 + (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2$

3/ Tính $(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b)$

Ta có:
$$
(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b) = \overrightarrow a.2\overrightarrow a + \overrightarrow a.(-\overrightarrow b) + 2\overrightarrow b.2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b.(-\overrightarrow b)
$$
$$
= 2|\overrightarrow a|^2 - \overrightarrow a.\overrightarrow b + 4 \overrightarrow b.\overrightarrow a - 2|\overrightarrow b|^2
$$
$$
= 2|\overrightarrow a|^2 - \overrightarrow a.\overrightarrow b + 4 \overrightarrow a.\overrightarrow b - 2|\overrightarrow b|^2
$$
$$
= 2|\overrightarrow a|^2 + 3 \overrightarrow a.\overrightarrow b - 2|\overrightarrow b|^2
$$
Thay các giá trị đã cho:
$$
= 2 \times 3^2 + 3 \times (-3) - 2 \times 2^2
$$
$$
= 2 \times 9 - 9 - 2 \times 4
$$
$$
= 18 - 9 - 8 = 1
$$

Đáp số:
1/ $\overrightarrow a.\overrightarrow b = -3$
2/ $(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2 + (\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2 = 26$
3/ $(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b)(2\overrightarrow a - \overrightarrow b) = 1$

Câu 11.
Trước tiên, ta vẽ hình và xác định các thông tin đã cho:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- AB = a.
- $\widehat{ACB} = 30^\circ$.

Từ đây, ta biết rằng $\widehat{ABC} = 60^\circ$ vì tổng các góc trong tam giác là 180° và góc A là 90°.

1. Tính $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$:
- Ta có $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
- $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$.
- Do đó, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BA}|^2 = a^2$.
- $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot AC \cdot (-\frac{1}{2})$.
- Vì $\widehat{ACB} = 30^\circ$, ta có $AC = a \sqrt{3}$.
- Do đó, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$.
- Kết quả: $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2 - \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2a^2 - a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 (2 - \sqrt{3})}{2}$.

2. Tính $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$:
- Ta có $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$.
- $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$.
- Do đó, $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$.
- $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CA}|^2 = (a \sqrt{3})^2 = 3a^2$.
- $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
- Kết quả: $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3a^2 + 0 = 3a^2$.

3. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$:
- Ta có $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.
- $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$.
- Do đó, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
- Kết quả: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

Đáp số:
1. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{a^2 (2 - \sqrt{3})}{2}$.
2. $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3a^2$.
3. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.