gảii chi tiết giúp em với ạ

Câu 1: Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100t}{100 + t^2}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{100t}{100 + t^2}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \): \[ \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} = 0 \] \[ 100 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 100 \] \[ t = 10 \text{ hoặc } t = -10 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm \( N'(t) \) để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi \( t < -10 \), \( 100 - t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). - Khi \( -10 < t < 10 \), \( 100 - t^2 > 0 \), do đó \( N'(t) > 0 \). - Khi \( t > 10 \), \( 100 - t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). Từ đó, ta thấy rằng \( t = 10 \) là điểm cực đại của hàm số \( N(t) \). Bước 4: Tính giá trị của \( N(t) \) tại \( t = 10 \): \[ N(10) = 1000 + \frac{100 \cdot 10}{100 + 10^2} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{100 + 100} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{200} \] \[ N(10) = 1000 + 5 \] \[ N(10) = 1005 \] Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là 1005 con, đạt được khi \( t = 10 \) giây. Đáp số: 1005 con vi khuẩn. Câu 2: Để tìm liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( G(x) = 0,035x^2(15 - x) \). Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. - Liều lượng thuốc \( x \) phải là số dương và nhỏ hơn hoặc bằng 15 (vì \( 15 - x \geq 0 \)). - Do đó, miền xác định của hàm số là \( 0 < x \leq 15 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số \( G(x) \). \[ G'(x) = \frac{d}{dx} [0,035x^2(15 - x)] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ G'(x) = 0,035 \left[ 2x(15 - x) + x^2(-1) \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 2x^2 - x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 3x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \cdot 3x(10 - x) \] \[ G'(x) = 0,105x(10 - x) \] Bước 3: Tìm điểm cực đại của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ G'(x) = 0,105x(10 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 10 \] Bước 4: Kiểm tra các điểm cực đại trong miền xác định \( 0 < x \leq 15 \). - \( x = 0 \) không thuộc miền xác định. - \( x = 10 \) thuộc miền xác định. Bước 5: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực đại. - Tại \( x = 10 \): \[ G(10) = 0,035 \cdot 10^2 \cdot (15 - 10) = 0,035 \cdot 100 \cdot 5 = 17,5 \] - Tại \( x = 15 \): \[ G(15) = 0,035 \cdot 15^2 \cdot (15 - 15) = 0,035 \cdot 225 \cdot 0 = 0 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( G(x) \) là 17,5, đạt được khi \( x = 10 \). Kết luận: Liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất là 10 miligam.