Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A. D ∈ đoạn AB, E ∈ tia đối CA sao cho BD = CE, BC cắt DE tại M. CMR: M là trung điểm DE Bài 2: Cho ∆ABC có AB<AC, M là trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc phân giác...

Bài 1: Xét tam giác ABD và tam giác ACE: - AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A) - BD = CE (theo đề bài) - Góc BAD = góc CAE (góc ở đỉnh A) Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có: - AD = AE (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) - Góc ADB = góc AEC (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Vì tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau nên tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A (vì AD = AE). Gọi F là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ADE. Ta có: - AF là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ADE (vì tam giác ADE cân tại A). Do đó, DF = EF (tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân). Bây giờ, ta xét tam giác BDF và tam giác CEF: - DF = EF (chứng minh trên) - Góc BDF = góc CEF (góc ngoài tam giác ADE bằng góc trong cùng đỉnh) - BD = CE (theo đề bài) Do đó, tam giác BDF và tam giác CEF bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có: - BF = CF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Vậy M là giao điểm của BC và DE, và do tam giác BDF và tam giác CEF bằng nhau nên M là trung điểm của DE. Kết luận: M là trung điểm của DE. Bài 2: Để chứng minh \(BE = CF\) trong tam giác \(ABC\) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \(M\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\). - Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với phân giác \(BAC\) cắt \(AB\) tại \(E\) và \(AC\) tại \(F\). 2. Xét tính chất của đường thẳng vuông góc với phân giác: - Vì đường thẳng qua \(M\) vuông góc với phân giác \(BAC\), nên nó tạo thành các góc vuông với phân giác này. - Điều này có nghĩa là \(ME\) và \(MF\) là các đoạn thẳng vuông góc với phân giác \(BAC\). 3. Xét tam giác \(BME\) và \(CMF\): - \(BM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - \(ME\) và \(MF\) đều vuông góc với phân giác \(BAC\), do đó góc \(BEM\) và góc \(CFM\) đều là góc vuông. - Phân giác \(BAC\) chia góc \(BAC\) thành hai phần bằng nhau, tức là góc \(BAE = \angle CAF\). 4. Áp dụng tính chất của tam giác cân: - Vì \(ME\) và \(MF\) đều vuông góc với phân giác \(BAC\), nên tam giác \(BME\) và \(CMF\) là các tam giác vuông cân tại \(E\) và \(F\) tương ứng. - Do đó, \(BE = CF\) vì các cạnh tương ứng của hai tam giác vuông cân này bằng nhau. 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \(BE = CF\). Vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh \(BE = CF\) trong tam giác \(ABC\) với các điều kiện đã cho. Bài 3: Xét tam giác ABE và tam giác ACF: - AB = AC (vì ABC là tam giác vuông cân) - Góc BAE = góc CAF (góc BAC chia đôi bởi đường thẳng vuông góc với BE) - Góc ABE = góc ACF (cùng bằng 45° vì ABC là tam giác vuông cân) Do đó, tam giác ABE và tam giác ACF bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có BE = CF và góc AEB = góc AFC. Xét tam giác BEF và tam giác CFE: - BE = CF (chứng minh trên) - EF chung - Góc BEF = góc CFE (góc AEB + góc AEF = góc AFC + góc AEF) Do đó, tam giác BEF và tam giác CFE bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có BF = FE và góc BFE = góc CFE. Mà góc BFE + góc CFE = 90° (góc vuông tại F), nên góc BFE = góc CFE = 45°. Vậy tam giác EBF là tam giác vuông cân tại F.