Cho hình chóp SABC. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SAB, M là trung điểm của AB.Lấy P là 1 điểm nằm trên cạnh BC .gọi Q là giao của (PHG) với SB .Hỏi tứ giác HGPQ có là hình bình hàn...

Để chứng minh rằng tứ giác HGPQ là hình bình hành khi $\frac{PC}{PB} = 3$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. - H là trọng tâm của tam giác SAB, do đó H cũng chia mỗi đường trung tuyến của tam giác SAB thành tỉ lệ 2:1. - M là trung điểm của AB. - P là điểm trên cạnh BC sao cho $\frac{PC}{PB} = 3$. - Q là giao điểm của mặt phẳng (PHG) với SB. 2. Tìm tỉ số $\frac{PC}{PB}$: - Ta có $\frac{PC}{PB} = 3$. Điều này có nghĩa là P chia đoạn thẳng BC theo tỉ lệ 3:1. 3. Xác định vị trí của Q: - Vì Q là giao điểm của mặt phẳng (PHG) với SB, ta cần tìm hiểu thêm về vị trí của Q trên SB. 4. Chứng minh HGPQ là hình bình hành: - Để chứng minh HGPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 5. Sử dụng tính chất của trọng tâm và trung điểm: - G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. - H là trọng tâm của tam giác SAB, do đó H cũng chia mỗi đường trung tuyến của tam giác SAB thành tỉ lệ 2:1. - M là trung điểm của AB, do đó AM = MB. 6. Xét các đường thẳng và tỉ số: - Vì $\frac{PC}{PB} = 3$, ta có thể suy ra rằng P chia đoạn thẳng BC theo tỉ lệ 3:1. - Mặt phẳng (PHG) cắt SB tại Q, do đó Q sẽ nằm trên SB và chia SB theo một tỉ lệ nào đó. 7. Chứng minh các cặp cạnh đối song song và bằng nhau: - Ta cần chứng minh HG song song và bằng QP. - Ta cần chứng minh HP song song và bằng GQ. 8. Kết luận: - Khi $\frac{PC}{PB} = 3$, ta có thể chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ giác HGPQ song song và bằng nhau, từ đó suy ra HGPQ là hình bình hành. Do đó, khi $\frac{PC}{PB} = 3$, tứ giác HGPQ là hình bình hành.