x+ sqrt(25-x^(2)) tìm giá trị nhỏ nhất

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ f(x) = x + \sqrt{25 - x^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Biểu thức $ \sqrt{25 - x^2} $ có nghĩa khi $ 25 - x^2 \geq 0 $. Điều này dẫn đến:
   $$
   x^2 \leq 25 \implies -5 \leq x \leq 5
   $$
   Vậy ĐKXĐ là $ -5 \leq x \leq 5 $.

2. Tìm đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f&#x27;(x) = 1 + \frac{d}{dx}\left(\sqrt{25 - x^2}\right)
   $$
   Áp dụng quy tắc đạo hàm của căn bậc hai:
   $$
   \frac{d}{dx}\left(\sqrt{25 - x^2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}}
   $$
   Do đó:
   $$
   f&#x27;(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{25 - x^2}}
   $$

3. Tìm điểm cực trị:
   Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $ f&#x27;(x) = 0 $:
   $$
   1 - \frac{x}{\sqrt{25 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{25 - x^2}} = 1 \implies x = \sqrt{25 - x^2}
   $$
   Bình phương cả hai vế:
   $$
   x^2 = 25 - x^2 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2} \implies x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}
   $$

4. Kiểm tra các giá trị ở biên và điểm cực trị:
   - Tại $ x = -5 $:
     $$
     f(-5) = -5 + \sqrt{25 - (-5)^2} = -5 + \sqrt{0} = -5
     $$
   - Tại $ x = 5 $:
     $$
     f(5) = 5 + \sqrt{25 - 5^2} = 5 + \sqrt{0} = 5
     $$
   - Tại $ x = \frac{5\sqrt{2}}{2} $:
     $$
     f\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{25 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{25 - \frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
     $$
   - Tại $ x = -\frac{5\sqrt{2}}{2} $:
     $$
     f\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{25 - \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{25 - \frac{25}{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = 0
     $$

5. So sánh các giá trị:
   Các giá trị của $ f(x) $ tại các điểm kiểm tra là:
   $$
   f(-5) = -5, \quad f(5) = 5, \quad f\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = 5\sqrt{2}, \quad f\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = 0
   $$
   Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là $ -5 $.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ x + \sqrt{25 - x^2} $ là $ -5 $, đạt được khi $ x = -5 $.