vgcccccvvvgggghjjjjgds

Câu 17: Để tìm số phần tử của tập hợp S, ta cần tính giá trị của m sao cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1, 1, -2)$ và $\overrightarrow{v} = (1, 0, m)$ tạo với nhau một góc $60^\circ$. Ta sẽ sử dụng công thức về tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \] Trong đó: - $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\overrightarrow{u}|$ và $|\overrightarrow{v}|$ là độ dài của hai vectơ. - $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Tính độ dài của $\overrightarrow{u}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] Tính độ dài của $\overrightarrow{v}$: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Thay vào công thức tích vô hướng: \[ 1 - 2m = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ 1 - 2m = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} \cdot \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2 - 4m = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (2 - 4m)^2 = (\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2})^2 \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6(1 + m^2) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6 + 6m^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 16m^2 - 6m^2 - 16m + 4 - 6 = 0 \] \[ 10m^2 - 16m - 2 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 5m^2 - 8m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{10} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{21}}{5} \] Vậy tập hợp S gồm hai giá trị: \[ S = \left\{ \frac{4 + \sqrt{21}}{5}, \frac{4 - \sqrt{21}}{5} \right\} \] Số phần tử của S là 2. Đáp số: 2 Câu 18: Để tìm số điểm M thỏa mãn điều kiện \( AMB = BMC = CMA = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng tính chất hình học và phương pháp tọa độ. 1. Xác định điều kiện vuông góc: - \( AMB = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \) - \( BMC = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \) - \( CMA = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \) 2. Tìm các vectơ: - \( \overrightarrow{AM} = (x-2, y, z) \) - \( \overrightarrow{BM} = (x, y-2, z) \) - \( \overrightarrow{CM} = (x, y, z-2) \) 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: - \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \): \[ (x-2)x + y(y-2) + z^2 = 0 \implies x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = 0 \] - \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \): \[ x^2 + (y-2)y + z(z-2) = 0 \implies x^2 + y^2 - 2y + z^2 - 2z = 0 \] - \( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \): \[ x(x-2) + y^2 + z(z-2) = 0 \implies x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 2z = 0 \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có ba phương trình: \[ \begin{cases} x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 2y + z^2 - 2z = 0 \\ x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 2z = 0 \end{cases} \] Trừ từng phương trình từ phương trình khác để đơn giản hóa: - Từ phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: \[ (x^2 + y^2 - 2y + z^2 - 2z) - (x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2) = 0 \implies 2x - 2z = 0 \implies x = z \] - Từ phương trình thứ ba trừ phương trình thứ nhất: \[ (x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 2z) - (x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2) = 0 \implies 2y - 2z = 0 \implies y = z \] Vậy ta có \( x = y = z \). 5. Thay vào phương trình ban đầu: Thay \( x = y = z \) vào bất kỳ phương trình nào: \[ x^2 - 2x + x^2 - 2x + x^2 = 0 \implies 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0 \] Suy ra \( x = 0 \) hoặc \( x = \frac{4}{3} \). 6. Tìm các điểm M: - Nếu \( x = 0 \), thì \( y = 0 \) và \( z = 0 \). Điểm M là \( (0, 0, 0) \). - Nếu \( x = \frac{4}{3} \), thì \( y = \frac{4}{3} \) và \( z = \frac{4}{3} \). Điểm M là \( \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \). Vậy có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện \( AMB = BMC = CMA = 90^\circ \). Đáp số: 2 điểm.