Hình ảnh tren

Câu 1: Phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng $-\frac{1}{2}$. Ta biết rằng: - $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ - $\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta có: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Đáp án đúng là: C. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$. Câu 2: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Ta cần tìm giá trị của $u_4$. Công thức tính số hạng thứ $n$ của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tìm $u_4$: \[ u_4 = u_1 + (4-1)d \] \[ u_4 = 2 + 3 \times 3 \] \[ u_4 = 2 + 9 \] \[ u_4 = 11 \] Vậy giá trị của $u_4$ là 11. Đáp án đúng là: B. 11. Câu 3: Để giải bất phương trình $\log_3(x-3) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-3)$, ta cần đảm bảo rằng $x-3 > 0$. Do đó: \[ x > 3 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-3) < 2$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_3(x-3) < \log_3(9) \] - Vì hàm số lôgarit cơ số 3 là hàm số đồng biến, nên ta có: \[ x - 3 < 9 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 12 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 3$ và kết quả từ bước 2 ($x < 12$), ta có: \[ 3 < x < 12 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (3; 12) \] Do đó, đáp án đúng là: D. $(3; 12)$. Câu 4: Để giải phương trình \(5^x = 10\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chuyển đổi về dạng logarit. Bước 1: Xác định phương trình đã cho: \[ 5^x = 10 \] Bước 2: Chuyển đổi phương trình trên về dạng logarit: \[ x = \log_5(10) \] Vậy nghiệm của phương trình \(5^x = 10\) là: \[ x = \log_5(10) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( x = \log_5(10) \) Đáp số: B. \( x = \log_5(10) \) Câu 5: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - M là trung điểm của SA. - N là trung điểm của SC. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để xác định xem khẳng định nào đúng. A. \( MN // mp(ABCD) \) - Để \( MN // mp(ABCD) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng ABCD. Tuy nhiên, do M nằm trên SA và N nằm trên SC, cả hai đều không nằm trong mặt phẳng ABCD, nên MN không thể song song với mặt phẳng ABCD. B. \( MN // mp(SAB) \) - Để \( MN // mp(SAB) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng SAB. Tuy nhiên, do M nằm trên SA và N nằm trên SC, cả hai đều không nằm trong mặt phẳng SAB, nên MN không thể song song với mặt phẳng SAB. C. \( MN // mp(SCD) \) - Để \( MN // mp(SCD) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng SCD. Tuy nhiên, do M nằm trên SA và N nằm trên SC, cả hai đều không nằm trong mặt phẳng SCD, nên MN không thể song song với mặt phẳng SCD. D. \( MN // mp(SBC) \) - Để \( MN // mp(SBC) \), đoạn thẳng MN phải song song với mặt phẳng SBC. Ta thấy rằng M nằm trên SA và N nằm trên SC, cả hai đều không nằm trong mặt phẳng SBC. Tuy nhiên, do M và N là trung điểm của SA và SC, đoạn thẳng MN sẽ song song với đường thẳng BC (vì MN là đường trung bình của tam giác SAC). Do đó, MN sẽ song song với mặt phẳng SBC. Vậy khẳng định đúng là: D. \( MN // mp(SBC) \) Đáp án: D. \( MN // mp(SBC) \) Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của biến cố "Lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm". 1. Xác định không gian mẫu: - Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6 chấm). - Gieo xúc xắc hai lần liên tiếp, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 = 36 \] 2. Xác định biến cố: - Biến cố "Lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm" chỉ có một kết quả cụ thể là (1, 3). 3. Tính xác suất của biến cố: - Số kết quả thuận lợi cho biến cố là 1. - Xác suất của biến cố là: \[ P = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{1}{36} \] Vậy xác suất của biến cố "Lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm" là $\frac{1}{36}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{36}$. Câu 7: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần quan sát đồ thị của hàm số và tìm các khoảng mà trong đó giá trị của hàm số giảm dần khi $x$ tăng lên. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ $x = -2$ đến $x = 0$, hàm số đang tăng dần. - Từ $x = 0$ đến $x = 2$, hàm số đang giảm dần. - Từ $x = 2$ trở đi, hàm số lại tăng dần. Do đó, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(0; 2)$. Câu 8: Để tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 2}{1 - x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x + 2}{1 - x} \) có mẫu số là \( 1 - x \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq 1 \). 2. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 2}{1 - x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - 1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Vậy, giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \) là \(-1\). 3. Kết luận phương trình đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 2}{1 - x} \) là \( y = -1 \). Do đó, phương án đúng là: B. \( y = -1 \). Câu 9: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1; -2; 3) \) lên mặt phẳng tọa độ (Oxz) là điểm có tọa độ \( (x; 0; z) \). - Tọa độ \( x \) giữ nguyên là 1. - Tọa độ \( y \) sẽ là 0 vì hình chiếu nằm trên mặt phẳng (Oxz). - Tọa độ \( z \) giữ nguyên là 3. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng (Oxz) là \( M(1; 0; 3) \). Đáp án đúng là: B. \( M(1; 0; 3) \). Câu 10: Để tìm độ dài đoạn OM, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AB. 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm M. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M. Tọa độ của điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AB, được tính bằng công thức: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{0}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (2, 0, -1) \] Bước 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm M. Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0, 0) đến điểm M(2, 0, -1) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ OM = \sqrt{(x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2 + (z_M - z_O)^2} \] Thay tọa độ của O và M vào công thức trên: \[ OM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] Vậy độ dài đoạn OM là $\sqrt{5}$. Đáp án đúng là: D. $\sqrt{5}$.