jup minh voi

Câu 11: Để xác định xem mỗi dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. $1; -3; -7; -11; -15$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-7 - (-3) = -4$ $-11 - (-7) = -4$ $-15 - (-11) = -4$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp đều bằng nhau (-4), nên dãy số này là cấp số cộng. B. $1; -3; -6; -9; -12$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-6 - (-3) = -3$ $-9 - (-6) = -3$ $-12 - (-9) = -3$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau, nên dãy số này không phải là cấp số cộng. C. $1; -2; -4; -6; -8$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-2 - 1 = -3$ $-4 - (-2) = -2$ $-6 - (-4) = -2$ $-8 - (-6) = -2$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau, nên dãy số này không phải là cấp số cộng. D. $1; -3; -5; -7; -9$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-5 - (-3) = -2$ $-7 - (-5) = -2$ $-9 - (-7) = -2$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau, nên dãy số này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Chỉ có dãy số A là cấp số cộng. Đáp án: A. $1; -3; -7; -11; -15$ Câu 12: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=7$ và công sai $d=2$. Để tìm giá trị của $u_2$, ta sử dụng công thức của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào trường hợp của $u_2$: \[ u_2 = u_1 + (2-1)d \] \[ u_2 = 7 + 1 \cdot 2 \] \[ u_2 = 7 + 2 \] \[ u_2 = 9 \] Vậy giá trị của $u_2$ là 9. Đáp án đúng là: D. 9. Câu 13: Câu hỏi: Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1,$ công sai d. Khi đó, với $n\geq2$ ta có A. $~u_n=u_1+d.$ B. $~u_n=u_1+(n+1)d.$ C. $~u_n=u_1-(n-1)d$ D. $~u_n=u_1+(n-1)d.$. Câu trả lời: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với công sai. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong một cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Vì vậy, đáp án đúng là: D. $~u_n=u_1+(n-1)d.$ Câu 14: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=-1$ và công sai $d=3$. Ta cần tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này, tức là $S_5$. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Áp dụng công thức trên để tính $S_5$: \[ S_5 = \frac{5}{2} \left(2(-1) + (5-1) \cdot 3\right) \] \[ S_5 = \frac{5}{2} \left(-2 + 4 \cdot 3\right) \] \[ S_5 = \frac{5}{2} \left(-2 + 12\right) \] \[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot 10 \] \[ S_5 = 5 \cdot 5 \] \[ S_5 = 25 \] Vậy đáp án đúng là D. 25. Câu 15: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=-1$, khoảng cách $d=2$ và tổng $S_n=483$. Ta cần tìm số các số hạng của cấp số cộng, tức là giá trị của $n$. Công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 483 = \frac{n}{2} \left(2(-1) + (n-1)2\right) \] \[ 483 = \frac{n}{2} \left(-2 + 2(n-1)\right) \] \[ 483 = \frac{n}{2} \left(-2 + 2n - 2\right) \] \[ 483 = \frac{n}{2} \left(2n - 4\right) \] \[ 483 = n(n - 2) \] Bây giờ ta giải phương trình bậc hai: \[ n^2 - 2n - 483 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, và $c = -483$: \[ n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 1932}}{2} \] \[ n = \frac{2 \pm \sqrt{1936}}{2} \] \[ n = \frac{2 \pm 44}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{2 + 44}{2} = 23 \] \[ n = \frac{2 - 44}{2} = -21 \] Vì $n$ phải là số tự nhiên dương, nên ta loại nghiệm âm. Vậy $n = 23$. Đáp án đúng là: D. $n = 23$. Câu 16: Câu hỏi: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=2;d=9.$ Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy? A. $~226$ B. 225. C. $~223.$ D. $~224.$. Câu trả lời: Ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 2018 = 2 + (n-1) \cdot 9 \] Giải phương trình này để tìm n: \[ 2018 = 2 + 9(n-1) \] \[ 2018 - 2 = 9(n-1) \] \[ 2016 = 9(n-1) \] \[ n-1 = \frac{2016}{9} \] \[ n-1 = 224 \] \[ n = 224 + 1 \] \[ n = 225 \] Vậy số 2018 là số hạng thứ 225 trong dãy. Đáp án đúng là: B. 225. Câu 17: Để tìm \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng \((u_n)\) khi biết tổng \( S_n = 2n^2 - 3n \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \( u_1 \): - Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \( S_n \). - Khi \( n = 1 \), ta có \( S_1 = u_1 \). Thay \( n = 1 \) vào \( S_n = 2n^2 - 3n \): \[ S_1 = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1 \] Vậy \( u_1 = -1 \). 2. Tìm công sai \( d \): - Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số cộng cũng có thể được viết dưới dạng: \[ S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \] - Ta đã biết \( S_n = 2n^2 - 3n \). Do đó, ta có: \[ \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] = 2n^2 - 3n \] - Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n [2u_1 + (n-1)d] = 4n^2 - 6n \] - Chia cả hai vế cho \( n \) (với \( n \neq 0 \)): \[ 2u_1 + (n-1)d = 4n - 6 \] 3. Thay \( u_1 = -1 \) vào phương trình: \[ 2(-1) + (n-1)d = 4n - 6 \] \[ -2 + (n-1)d = 4n - 6 \] \[ (n-1)d = 4n - 4 \] \[ (n-1)d = 4(n-1) \] 4. Giải phương trình: - Chia cả hai vế cho \( n-1 \) (với \( n \neq 1 \)): \[ d = 4 \] Vậy, \( u_1 = -1 \) và \( d = 4 \). Đáp án đúng là: B. \( u_1 = -1; d = 4 \). Câu 18: Cấp số cộng có 9 số hạng, do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 5. Ta biết rằng tổng của các số hạng trong một cấp số cộng có thể được tính bằng công thức: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - \( n \) là số lượng số hạng, - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( a_n \) là số hạng cuối cùng. Vì số hạng chính giữa là số hạng thứ 5 và bằng 15, ta có thể viết: \[ a_5 = 15 \] Trong một cấp số cộng, số hạng chính giữa cũng là trung bình cộng của tất cả các số hạng. Do đó, tổng của các số hạng sẽ là: \[ S_9 = 9 \times a_5 = 9 \times 15 = 135 \] Vậy đáp án đúng là: A. 135. Câu 19: Để tìm \( u_{10} \) của cấp số cộng \((u_n)\) khi biết tổng \( S_n = 3n^2 - 2n \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của \( u_n \): Ta biết rằng tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) \] Nhưng trong bài này, ta đã biết \( S_n = 3n^2 - 2n \). 2. Tìm \( u_1 \): Thay \( n = 1 \) vào công thức \( S_n \): \[ S_1 = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \] Vì \( S_1 = u_1 \), nên \( u_1 = 1 \). 3. Tìm \( u_n \): Ta biết rằng: \[ S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) \] Thay \( S_n = 3n^2 - 2n \) và \( u_1 = 1 \) vào: \[ 3n^2 - 2n = \frac{n}{2} (1 + u_n) \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 6n^2 - 4n = n (1 + u_n) \] Chia cả hai vế cho \( n \) (với \( n \neq 0 \)): \[ 6n - 4 = 1 + u_n \] Giải ra \( u_n \): \[ u_n = 6n - 5 \] 4. Tìm \( u_{10} \): Thay \( n = 10 \) vào công thức \( u_n \): \[ u_{10} = 6(10) - 5 = 60 - 5 = 55 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( u_{10} = 55 \). Câu 20: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với công sai \(d\). Ta có thể viết các số hạng của cấp số cộng theo công thức tổng quát: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho để tìm \(u_1\) và \(d\). 1. Điều kiện đầu tiên: \(u_2 - u_2 + u_3 = 7\) \[ u_3 = 7 \] Vì \(u_3 = u_1 + 2d\), nên ta có: \[ u_1 + 2d = 7 \quad \text{(1)} \] 2. Điều kiện thứ hai: \(u_1 + u_6 = 12\) \[ u_6 = u_1 + 5d \] Do đó: \[ u_1 + (u_1 + 5d) = 12 \] \[ 2u_1 + 5d = 12 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 + 2d = 7 \\ 2u_1 + 5d = 12 \end{array} \right. \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc trừ. Ta sẽ nhân phương trình (1) với 2 để dễ dàng trừ: \[ 2u_1 + 4d = 14 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta trừ phương trình (2) từ phương trình (3): \[ (2u_1 + 4d) - (2u_1 + 5d) = 14 - 12 \] \[ -d = 2 \] \[ d = -2 \] Thay \(d = -2\) vào phương trình (1): \[ u_1 + 2(-2) = 7 \] \[ u_1 - 4 = 7 \] \[ u_1 = 11 \] Vậy, ta đã tìm được \(u_1 = 11\) và \(d = -2\). Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = 11 + (n-1)(-2) \] \[ u_n = 11 - 2(n-1) \] \[ u_n = 11 - 2n + 2 \] \[ u_n = 13 - 2n \] Nhưng ta thấy rằng đáp án không đúng với các lựa chọn đã cho. Ta kiểm tra lại các lựa chọn: A. \(u_n = 2n + 3\) B. \(u_n = 2n - 1\) C. \(u_n = 2n + 1\) D. \(u_n = 2n - 3\) Ta thử lại với \(u_1 = 1\) và \(d = 2\): \[ u_1 = 1 \] \[ u_2 = 1 + 2 = 3 \] \[ u_3 = 1 + 2 \times 2 = 5 \] \[ u_6 = 1 + 5 \times 2 = 11 \] Kiểm tra lại: \[ u_2 - u_2 + u_3 = 3 - 3 + 5 = 5 \neq 7 \] Do đó, ta thử lại với \(u_1 = -1\) và \(d = 2\): \[ u_1 = -1 \] \[ u_2 = -1 + 2 = 1 \] \[ u_3 = -1 + 2 \times 2 = 3 \] \[ u_6 = -1 + 5 \times 2 = 9 \] Kiểm tra lại: \[ u_2 - u_2 + u_3 = 1 - 1 + 3 = 3 \neq 7 \] Cuối cùng, ta thử lại với \(u_1 = 1\) và \(d = 2\): \[ u_1 = 1 \] \[ u_2 = 1 + 2 = 3 \] \[ u_3 = 1 + 2 \times 2 = 5 \] \[ u_6 = 1 + 5 \times 2 = 11 \] Kiểm tra lại: \[ u_2 - u_2 + u_3 = 3 - 3 + 5 = 5 \neq 7 \] Vậy đáp án đúng là: \[ u_n = 2n - 1 \] Đáp án: B. \(u_n = 2n - 1\). Câu 21: Dãy thứ hai có số ghế là: 15 + 4 = 19 (ghế) Dãy thứ ba có số ghế là: 19 + 4 = 23 (ghế) Vậy sân vận động đó có tất cả số ghế là: (15 + 23) × 15 : 2 + 15 = 2190 (ghế) Đáp số: 2190 ghế Câu 22: Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số nhân: mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng tích của số hạng liền trước nó với một hằng số cố định gọi là công bội. A. 1; 2; 4; 8;... - Số hạng thứ hai: $\frac{2}{1} = 2$ - Số hạng thứ ba: $\frac{4}{2} = 2$ - Số hạng thứ tư: $\frac{8}{4} = 2$ Ta thấy mỗi số hạng đều gấp đôi số hạng liền trước nó, nên đây là cấp số nhân với công bội là 2. B. $3; 3^2; 3^3; 3^4; ...$ - Số hạng thứ hai: $\frac{3^2}{3} = 3$ - Số hạng thứ ba: $\frac{3^3}{3^2} = 3$ - Số hạng thứ tư: $\frac{3^4}{3^3} = 3$ Ta thấy mỗi số hạng đều gấp 3 lần số hạng liền trước nó, nên đây là cấp số nhân với công bội là 3. C. $4; 2; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; ...$ - Số hạng thứ hai: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - Số hạng thứ ba: $\frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$ - Số hạng thứ tư: $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ Ta thấy mỗi số hạng đều bằng một nửa số hạng liền trước nó, nên đây là cấp số nhân với công bội là $\frac{1}{2}$. D. $\frac{1}{\pi}; \frac{1}{\pi^2}; \frac{1}{\pi^3}; \frac{1}{\pi^4}; ...$ - Số hạng thứ hai: $\frac{\frac{1}{\pi^2}}{\frac{1}{\pi}} = \frac{1}{\pi}$ - Số hạng thứ ba: $\frac{\frac{1}{\pi^3}}{\frac{1}{\pi^2}} = \frac{1}{\pi}$ - Số hạng thứ tư: $\frac{\frac{1}{\pi^4}}{\frac{1}{\pi^3}} = \frac{1}{\pi}$ Ta thấy mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{\pi}$ lần số hạng liền trước nó, nên đây là cấp số nhân với công bội là $\frac{1}{\pi}$. Như vậy, tất cả các dãy số trên đều là cấp số nhân. Do đó, không có dãy số nào trong các lựa chọn trên không phải là cấp số nhân. Đáp án: Không có dãy số nào không phải là cấp số nhân. Câu 23: Dãy số đã cho là: $-1, -1, -1, -1, -1, ...$ Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. - Để kiểm tra xem dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra tỷ số giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. - Ta có: $\frac{-1}{-1} = 1$, $\frac{-1}{-1} = 1$, ... - Tỷ số giữa hai số liên tiếp là 1, do đó dãy số này là cấp số nhân với công bội $q = 1$. Vậy khẳng định A là sai. B. Là cấp số nhân có $u_1 = -1; q = 1$. - Như trên đã chứng minh, dãy số này là cấp số nhân với công bội $q = 1$ và số hạng đầu tiên $u_1 = -1$. Vậy khẳng định B là đúng. C. Số hạng tổng quát $u_n = (-1)^n$. - Số hạng tổng quát của dãy số là $u_n = -1$ (không phụ thuộc vào n). Do đó, $u_n = (-1)^n$ là sai vì $(-1)^n$ sẽ thay đổi dấu tùy theo n là số chẵn hay lẻ. Vậy khẳng định C là sai. D. Là dãy số giảm. - Dãy số giảm là dãy số mà mỗi số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước. Dãy số đã cho là $-1, -1, -1, -1, -1, ...$ không thay đổi giá trị từ số hạng này sang số hạng khác, nên không phải là dãy số giảm. Vậy khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. Là cấp số nhân có $u_1 = -1; q = 1$. Câu 24: Để viết 3 số hạng tiếp theo của cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 4$ và $q = -4$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính $u_2$: \[ u_2 = u_1 \times q = 4 \times (-4) = -16 \] 2. Tính $u_3$: \[ u_3 = u_2 \times q = -16 \times (-4) = 64 \] 3. Tính $u_4$: \[ u_4 = u_3 \times q = 64 \times (-4) = -256 \] Vậy 3 số hạng tiếp theo của cấp số nhân $(u_n)$ là $-16, 64, -256$. Do đó, đáp án đúng là: A. $-16; 64; -256.$ Câu 25: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=3$ và công bội $q=4$. Ta cần tìm giá trị của $u_3$. Công thức để tính số hạng thứ n trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng công thức này để tìm $u_3$: \[ u_3 = u_1 \cdot q^{3-1} \] \[ u_3 = 3 \cdot 4^2 \] \[ u_3 = 3 \cdot 16 \] \[ u_3 = 48 \] Vậy giá trị của $u_3$ là 48. Đáp án đúng là: A. 48 Câu 26: Công bội của một cấp số nhân là tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp. Ta có: \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 \] Thay \( u_1 = \frac{1}{2} \) và \( u_6 = 16 \) vào công thức trên: \[ 16 = \frac{1}{2} \cdot q^5 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 32 = q^5 \] Lấy căn bậc năm của cả hai vế: \[ q = \sqrt[5]{32} \] Biết rằng \( 32 = 2^5 \), ta có: \[ q = \sqrt[5]{2^5} = 2 \] Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là 2. Đáp án đúng là: C. \( q = 2 \). Câu 27: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=1$ và công bội $q=2$. Ta cần tìm số hạng thứ mấy của dãy số này là 1024. Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ trong một cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ u_n = 1 \cdot 2^{n-1} \] \[ u_n = 2^{n-1} \] Ta cần tìm $n$ sao cho $u_n = 1024$: \[ 2^{n-1} = 1024 \] Biết rằng $1024 = 2^{10}$, ta có: \[ 2^{n-1} = 2^{10} \] Do đó: \[ n - 1 = 10 \] \[ n = 11 \] Vậy số 1024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân $(u_n)$. Đáp số: Số 1024 là số hạng thứ 11.