Giúp e phần này với ạ

Câu 1: a. Ta có $\overrightarrow{a} = (2; 1; -1)$ và $\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)$. Do đó: \[ \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{i} = 2(2; 1; -1) - 3(1; 0; 0) = (4; 2; -2) - (3; 0; 0) = (1; 2; -2) \] Vậy $\overrightarrow{b} = (1; 2; -2)$. b. Để $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{c}$, ta cần $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ và $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = 0$. Giả sử $\overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)$, ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = u_1 \cdot 2 + u_2 \cdot 1 + u_3 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow 2u_1 + u_2 - u_3 = 0 \] \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = u_1 \cdot 3 + u_2 \cdot 2 + u_3 \cdot 2 = 0 \Rightarrow 3u_1 + 2u_2 + 2u_3 = 0 \] Giải hệ phương trình này, ta có: \[ \begin{cases} 2u_1 + u_2 - u_3 = 0 \\ 3u_1 + 2u_2 + 2u_3 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2 rồi trừ đi phương trình thứ hai: \[ 4u_1 + 2u_2 - 2u_3 - (3u_1 + 2u_2 + 2u_3) = 0 \Rightarrow u_1 - 4u_3 = 0 \Rightarrow u_1 = 4u_3 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 2(4u_3) + u_2 - u_3 = 0 \Rightarrow 8u_3 + u_2 - u_3 = 0 \Rightarrow 7u_3 + u_2 = 0 \Rightarrow u_2 = -7u_3 \] Chọn $u_3 = 1$, ta có $u_1 = 4$ và $u_2 = -7$. Vậy $\overrightarrow{u} = (4; -7; 1)$. c. Để $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$, ta cần $\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{v}$ với $k \neq 0$. Ta có: \[ (1; 2; -2) = k(x-1; 3; y+1) \] Từ đây, ta có: \[ 1 = k(x-1) \quad (1) \] \[ 2 = 3k \quad (2) \] \[ -2 = k(y+1) \quad (3) \] Từ phương trình (2), ta có: \[ k = \frac{2}{3} \] Thay vào phương trình (1): \[ 1 = \frac{2}{3}(x-1) \Rightarrow 3 = 2(x-1) \Rightarrow 3 = 2x - 2 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \] Thay vào phương trình (3): \[ -2 = \frac{2}{3}(y+1) \Rightarrow -3 = y+1 \Rightarrow y = -4 \] Vậy để $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$ thì $2x - y = 1$. d. Góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\alpha$. Ta có: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) = 2 + 2 + 2 = 6 \] Tính $|\overrightarrow{a}|$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Tính $|\overrightarrow{b}|$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy: \[ \cos \alpha = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Đáp số: a. $\overrightarrow{b} = (1; 2; -2)$ b. $\overrightarrow{u} = (4; -7; 1)$ c. $2x - y = 1$ d. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ Câu 2: a) Để \( M(a, b, c) \) thỏa mãn \( AMBC \) là hình bình hành, ta cần \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CB} \). Tính \( \overrightarrow{CB} \): \[ \overrightarrow{CB} = B - C = (3-1, 2-(-1), 1-2) = (2, 3, -1) \] Tính \( \overrightarrow{AM} \): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (a-2, b-1, c+1) \] Để \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CB} \), ta có: \[ a - 2 = 2 \Rightarrow a = 4 \] \[ b - 1 = 3 \Rightarrow b = 4 \] \[ c + 1 = -1 \Rightarrow c = -2 \] Vậy \( M(4, 4, -2) \). Ta kiểm tra \( a + b + c = 4 + 4 - 2 = 6 \). b) Để \( E \in (Oxz) \) sao cho \( E, B, C \) thẳng hàng, ta cần \( \overrightarrow{EB} \) và \( \overrightarrow{EC} \) cùng phương. Giả sử \( E(x, 0, z) \), ta có: \[ \overrightarrow{EB} = B - E = (3-x, 2, 1-z) \] \[ \overrightarrow{EC} = C - E = (1-x, -1, 2-z) \] Để \( \overrightarrow{EB} \) và \( \overrightarrow{EC} \) cùng phương, ta có: \[ \frac{3-x}{1-x} = \frac{2}{-1} = \frac{1-z}{2-z} \] Từ \( \frac{3-x}{1-x} = -2 \): \[ 3 - x = -2(1 - x) \] \[ 3 - x = -2 + 2x \] \[ 3 + 2 = 3x \] \[ 5 = 3x \] \[ x = \frac{5}{3} \] Từ \( \frac{1-z}{2-z} = -2 \): \[ 1 - z = -2(2 - z) \] \[ 1 - z = -4 + 2z \] \[ 1 + 4 = 3z \] \[ 5 = 3z \] \[ z = \frac{5}{3} \] Vậy \( E \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \). c) Để \( N \in Oy \) sao cho \( |2\overrightarrow{NA} + 3\overrightarrow{NB}| \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( N(0, y, 0) \). Tính \( \overrightarrow{NA} \): \[ \overrightarrow{NA} = A - N = (2, 1-y, -1) \] Tính \( \overrightarrow{NB} \): \[ \overrightarrow{NB} = B - N = (3, 2-y, 1) \] Tính \( 2\overrightarrow{NA} + 3\overrightarrow{NB} \): \[ 2\overrightarrow{NA} = 2(2, 1-y, -1) = (4, 2-2y, -2) \] \[ 3\overrightarrow{NB} = 3(3, 2-y, 1) = (9, 6-3y, 3) \] \[ 2\overrightarrow{NA} + 3\overrightarrow{NB} = (4+9, 2-2y+6-3y, -2+3) = (13, 8-5y, 1) \] Để \( |2\overrightarrow{NA} + 3\overrightarrow{NB}| \) nhỏ nhất, ta cần \( 8 - 5y = 0 \): \[ 8 = 5y \] \[ y = \frac{8}{5} \] Vậy \( N \left( 0, \frac{8}{5}, 0 \right) \). d) Để \( K \in (Oxy) \) sao cho \( KA + KC \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( K \) nằm trên đường thẳng nối giữa \( A \) và \( C \). Tính trung điểm của \( A \) và \( C \): \[ K = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{1+(-1)}{2}, \frac{-1+2}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) \] Vậy \( K \left( \frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) \). Đáp số: a) \( M(4, 4, -2) \) b) \( E \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \) c) \( N \left( 0, \frac{8}{5}, 0 \right) \) d) \( K \left( \frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) \) Câu 3: a. Đặt $I=\int_{0}^{4}(x-\frac{x^{2}}{6})dx$ $=[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{18}]_{0}^{4}=\frac{16}{3}$ b. Đặt $V=\pi \int_{0}^{4}(x-\frac{x^{2}}{6})^{2}dx$ $=\pi \int_{0}^{4}(\frac{x^{4}}{36}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})dx$ $=\pi [\frac{x^{5}}{180}-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}=\frac{8\pi }{3}$ c. $F(x)=e^{x}+2x$ là 1 nguyên hàm của $f(x)$ $\Rightarrow f(x)=F'(x)=e^{x}+2$ $\Rightarrow \int f(2x)dx=\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}e^{2x}+2x+c$ d. Đặt $t=lnx$ suy ra $dt=\frac{1}{x}dx$ Khi $x=1$ thì $t=0$ Khi $x=e$ thì $t=1$ $\Rightarrow \int_{1}^{e}\frac{f(lnx)}{x}dx=\int_{0}^{1}f(t)dt=10$ $\Rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx=10$ Câu 4: Trước tiên, ta xác định các điểm trong không gian: - \( A = (0, 0, 0) \) - \( B = (3, 0, 0) \) - \( D = (0, 3, 0) \) - \( A' = (0, 0, 3) \) - \( D' = (0, 3, 3) \) - \( C = (3, 3, 0) \) - \( C' = (3, 3, 3) \) Ta xác định các trung điểm: - \( M \) là trung điểm của \( A'D' \): \[ M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( 0, \frac{3}{2}, 3 \right) \] - \( N \) là trung điểm của \( CD \): \[ N = \left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{3 + 3}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) \] - \( P \) là trung điểm của \( BC \): \[ P = \left( \frac{3 + 3}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 3, \frac{3}{2}, 0 \right) \] a. Tính \( \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BM} \) - \( \overrightarrow{AN} = N - A = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) - (0, 0, 0) = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) \) - \( \overrightarrow{BM} = M - B = \left( 0, \frac{3}{2}, 3 \right) - (3, 0, 0) = \left( -3, \frac{3}{2}, 3 \right) \) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BM} = \left( \frac{3}{2} \right)(-3) + (3)\left( \frac{3}{2} \right) + (0)(3) = -\frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 0 = 0 \] b. Tính diện tích tam giác \( \Delta AMN \) - \( \overrightarrow{AM} = M - A = \left( 0, \frac{3}{2}, 3 \right) \) - \( \overrightarrow{AN} = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) \) Tích có hướng: \[ \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{3}{2} & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( \frac{3}{2} \cdot 0 - 3 \cdot 3 \right) - \mathbf{j} \left( 0 \cdot 0 - 3 \cdot \frac{3}{2} \right) + \mathbf{k} \left( 0 \cdot 3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \right) \] \[ = \mathbf{i} (-9) - \mathbf{j} \left( -\frac{9}{2} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{9}{4} \right) = (-9, \frac{9}{2}, -\frac{9}{4}) \] Diện tích tam giác: \[ S_{\Delta AMN} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN} \| = \frac{1}{2} \sqrt{(-9)^2 + \left( \frac{9}{2} \right)^2 + \left( -\frac{9}{4} \right)^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{81 + \frac{81}{4} + \frac{81}{16}} = \frac{1}{2} \sqrt{81 + 20.25 + 5.0625} = \frac{1}{2} \sqrt{106.3125} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{21}}{4} = \frac{9\sqrt{21}}{8} \] c. Phương trình mặt phẳng (MNP) Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng thông qua 3 điểm \( M, N, P \): - \( \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{3}{2}, 3, 0 \right) - \left( 0, \frac{3}{2}, 3 \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, -3 \right) \) - \( \overrightarrow{MP} = P - M = \left( 3, \frac{3}{2}, 0 \right) - \left( 0, \frac{3}{2}, 3 \right) = \left( 3, 0, -3 \right) \) Tích có hướng: \[ \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -3 \\ 3 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( \frac{3}{2} \cdot (-3) - (-3) \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{3}{2} \cdot (-3) - (-3) \cdot 3 \right) + \mathbf{k} \left( \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 3 \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( -\frac{9}{2} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{9}{2} + 9 \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{9}{2} \right) = \left( -\frac{9}{2}, \frac{9}{2}, -\frac{9}{2} \right) \] Phương trình mặt phẳng: \[ -\frac{9}{2}(x - 0) + \frac{9}{2}(y - \frac{3}{2}) - \frac{9}{2}(z - 3) = 0 \] \[ -\frac{9}{2}x + \frac{9}{2}y - \frac{9}{2}z + \frac{27}{4} = 0 \] \[ -x + y - z + \frac{3}{2} = 0 \] d. Khoảng cách từ điểm \( B \) đến mặt phẳng (MNP) Khoảng cách từ điểm \( B = (3, 0, 0) \) đến mặt phẳng \( -x + y - z + \frac{3}{2} = 0 \): \[ d = \frac{|-3 + 0 - 0 + \frac{3}{2}|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3}{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Đáp số: \[ \boxed{a. \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BM} = 0} \] \[ \boxed{b. S_{\Delta AMN} = \frac{9\sqrt{21}}{8}} \] \[ \boxed{c. b - c - 2d = 9} \] \[ \boxed{d. d(B, (MNP)) = \frac{\sqrt{3}}{2}} \]