Giúp mình với!

Câu 21: Để chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các góc liên quan: - Vì B là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn (O), nên góc OBP = 90° (góc giữa bán kính và tiếp tuyến). - Ta có AQ // OP, do đó góc OAP = góc OBP = 90° (hai góc so le trong). 2. Chứng minh tam giác OAQ vuông tại A: - Từ bước 1, ta đã biết góc OAP = 90°, tức là tam giác OAQ là tam giác vuông tại A. 3. Chứng minh tam giác OAQ đồng dạng với tam giác OBQ: - Cả hai tam giác đều có chung góc O. - Góc OAP = 90° và góc OQB cũng là góc vuông (vì OQ là bán kính và Q nằm trên đường tròn). - Do đó, tam giác OAQ đồng dạng với tam giác OBQ theo trường hợp đồng dạng "góc - góc". 4. Từ đồng dạng suy ra tỉ lệ cạnh: - Vì tam giác OAQ đồng dạng với tam giác OBQ, ta có tỉ lệ cạnh: \[ \frac{OA}{OB} = \frac{AQ}{BQ} \] - Nhưng OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)), nên ta có: \[ \frac{OA}{OB} = 1 \implies \frac{AQ}{BQ} = 1 \implies AQ = BQ \] 5. Chứng minh PQ là tiếp tuyến: - Vì AQ = BQ và OQ là bán kính, ta có tam giác OQP là tam giác cân tại Q. - Góc OQP = 90° (vì tam giác OAQ vuông tại A và OQ là trung tuyến của tam giác cân OQP). - Do đó, PQ vuông góc với bán kính OQ tại điểm Q, suy ra PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Vậy ta đã chứng minh được PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 22: Để chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh AI vuông góc với HK: Vì tam giác ABC cân tại A, đường cao AH cũng là đường trung trực của BC. Do đó, H là trung điểm của BC. Ta có BK là đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, và BK cắt AH tại I. Xét tam giác ABI và tam giác AKI: - AB = AK (vì tam giác ABC cân tại A) - AI chung - Góc BAI = góc KAI (góc giữa đường cao và đường trung trực) Do đó, tam giác ABI và tam giác AKI bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó, ta có BI = IK. Vì BI = IK, nên AI là đường trung trực của đoạn thẳng BK. Do đó, AI vuông góc với BK tại I. 2. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI: Ta đã chứng minh được AI vuông góc với BK tại I. Điều này có nghĩa là AI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI và AKI. Vì AI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI và AKI, nên HK là tiếp tuyến của đường tròn này tại điểm I. Vậy ta đã chứng minh được HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Đáp số: HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Câu 23: Để chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc với MN tại A, ta thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh MN đi qua A: Vì M và N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC, nên ta có: - AH = AM (do M là điểm đối xứng của H qua AB) - AH = AN (do N là điểm đối xymmetric của H qua AC) Do đó, ta có: - AM = AN Điều này chứng tỏ rằng A nằm trên đường thẳng MN. 2. Chứng minh góc MAN = 90°: Ta biết rằng: - Góc BAH = góc CAH (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh vuông của tam giác vuông ABC) - Góc BAM = góc BAH (do M là điểm đối xứng của H qua AB) - Góc CAN = góc CAH (do N là điểm đối xứng của H qua AC) Từ đó ta có: - Góc BAM = góc CAN Vì tam giác ABC vuông tại A, nên: - Góc BAC = 90° Do đó: - Góc BAM + góc CAN = 90° Kết hợp với việc góc BAM = góc CAN, ta có: - Góc MAN = 90° 3. Chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc với MN tại A: Ta đã chứng minh được rằng: - MN đi qua A - Góc MAN = 90° Đường tròn đường kính BC sẽ có tâm là trung điểm của BC và đường kính là BC. Vì góc MAN = 90°, nên MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC tại điểm A. Vậy ta đã chứng minh được đường tròn đường kính BC tiếp xúc với MN tại A. Câu 24: a) Chứng minh rằng OA là đường trung trực của đoạn BC: - Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OB vuông góc với AB tại B và OC vuông góc với AC tại C. - Ta có OB = OC (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn). - Xét tam giác OAB và tam giác OAC: + OB = OC (bán kính của đường tròn) + OA chung + Góc OBA = góc OCA = 90° (vì OB và OC vuông góc với AB và AC) - Vậy tam giác OAB và tam giác OAC bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, AB = AC (cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau). - Từ đây, ta có tam giác ABC cân tại A. - Vì OA là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác cân ABC, nên OA cũng là đường trung trực của đoạn BC. b) Chứng minh rằng CD song song với AO: - Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên góc BCD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó góc BCD = 90°. - Ta đã biết OB vuông góc với AB tại B, tức là góc OBA = 90°. - Vì OA là đường trung trực của đoạn BC, nên OA vuông góc với BC tại trung điểm của BC. - Do đó, góc OBC = 90°. - Vì góc BCD = 90° và góc OBC = 90°, nên CD vuông góc với OB. - Vì OB vuông góc với AB và CD vuông góc với OB, nên CD song song với AO. Đáp số: a) OA là đường trung trực của đoạn BC. b) CD song song với AO. Câu 25: a) Chứng minh: $\Delta ACO$ đồng dạng với $\Delta DCE$ - Ta có $\angle OAC = \angle CDE = 90^\circ$ (vì AB, AC là tiếp tuyến và DE là tiếp tuyến tại D) - $\angle AOC = \angle DEC$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn) - Do đó, $\Delta ACO$ đồng dạng với $\Delta DCE$ (góc - góc) b) Chứng minh: $\Delta ACD$ đồng dạng với $\Delta OCE$ - Ta có $\angle ACD = \angle OCE$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn) - $\angle CAD = \angle COE$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn) - Do đó, $\Delta ACD$ đồng dạng với $\Delta OCE$ (góc - góc) c) Gọi giao điểm của CD và OE là M; K là giao điểm của AD và OE. Chứng minh: AD vuông góc với OE tại K. - Từ phần b), ta có $\Delta ACD$ đồng dạng với $\Delta OCE$, do đó $\frac{AC}{OC} = \frac{CD}{CE}$ - Ta cũng có $\Delta ACO$ đồng dạng với $\Delta DCE$, do đó $\frac{AC}{OC} = \frac{DC}{CE}$ - Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có $\frac{AC}{OC} = \frac{CD}{CE} = \frac{AD}{OE}$ - Do đó, $\Delta ACD$ đồng dạng với $\Delta OCE$ (cạnh - cạnh - cạnh) - Từ đó, $\angle ACD = \angle OCE$ và $\angle CAD = \angle COE$ - Vì $\angle ACD + \angle OCE = 180^\circ$ (hai góc kề bù), nên $\angle ACD = \angle OCE = 90^\circ$ - Do đó, AD vuông góc với OE tại K. Đáp số: AD vuông góc với OE tại K. Câu 26: a) Chứng minh: $DO//CB$ và $AO.HC=AD.HB.$ - Ta có $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - Xét tam giác ACD và tam giác HBC có: $\widehat{ACD}=\widehat{HBC}$ (chứng minh trên) $\widehat{CAD}=\widehat{BHC}$ (cùng bù với $\widehat{AHC}$) Vậy tam giác ACD đồng dạng với tam giác HBC (g-g) Từ đó ta có tỉ lệ thức: $\frac{AD}{HB}=\frac{AC}{HC}=\frac{AO}{HC}$ (vì AO = OC) Suy ra: $AO.HC=AD.HB$ - Mặt khác, ta có $\widehat{DAO}=\widehat{HCB}$ (cùng bằng $\widehat{BHC}$) Vậy $DO//CB$ (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba) b) Chứng minh: I là trung điểm của CH. - Ta có $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - Xét tam giác ACD và tam giác HBC có: $\widehat{ACD}=\widehat{HBC}$ (chứng minh trên) $\widehat{CAD}=\widehat{BHC}$ (cùng bù với $\widehat{AHC}$) Vậy tam giác ACD đồng dạng với tam giác HBC (g-g) Từ đó ta có tỉ lệ thức: $\frac{AD}{HB}=\frac{AC}{HC}=\frac{AO}{HC}$ (vì AO = OC) Suy ra: $AO.HC=AD.HB$ - Mặt khác, ta có $\widehat{DAO}=\widehat{HCB}$ (cùng bằng $\widehat{BHC}$) Vậy $DO//CB$ (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba) - Ta có $\widehat{AID}=\widehat{BIC}$ (đối đỉnh) $\widehat{ADI}=\widehat{CBI}$ (cùng bằng $\widehat{ABD}$) Vậy tam giác AID đồng dạng với tam giác BIC (g-g) Từ đó ta có tỉ lệ thức: $\frac{AI}{BI}=\frac{DI}{CI}$ Mặt khác, ta có $\widehat{AID}=\widehat{CID}$ (đối đỉnh) Vậy tam giác AID đồng dạng với tam giác CID (g-g) Từ đó ta có tỉ lệ thức: $\frac{AI}{CI}=\frac{DI}{CI}$ Từ hai tỉ lệ thức trên ta có: $\frac{AI}{BI}=\frac{AI}{CI}$ Suy ra: BI = CI Vậy I là trung điểm của CH.