Bài 1: cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là tiếp điểm. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Bài 2: Một cây tre cao 9 m bị gió bão gãy ngang thâ...

Bài 1: Để chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Gọi \(O\) là tâm của đường tròn. - Gọi \(P\) là điểm nằm ngoài đường tròn. - Gọi \(PA\) và \(PB\) là hai tiếp tuyến từ \(P\) đến đường tròn, với \(A\) và \(B\) là các tiếp điểm. 2. Tính góc giữa tiếp tuyến và bán kính: - Vì \(PA\) và \(PB\) là tiếp tuyến, nên \(OA \perp PA\) và \(OB \perp PB\). - Do đó, \(\angle OAP = 90^\circ\) và \(\angle OBP = 90^\circ\). 3. Chứng minh rằng \(PA = PB\): - Ta có \(OA = OB\) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn). - \(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\). - \(OP\) chung. - Do đó, tam giác \(OAP\) và tam giác \(OBP\) bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông. - Từ đó suy ra \(PA = PB\). 4. Chứng minh rằng \(P\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\): - Xét tứ giác \(OAPB\): - \(\angle OAP = 90^\circ\) và \(\angle OBP = 90^\circ\). - Tổng các góc nội tiếp của tứ giác \(OAPB\) là \(360^\circ\). - Do đó, tổng của hai góc còn lại là \(180^\circ\), tức là \(\angle APB + \angle AOB = 180^\circ\). - Điều này chứng tỏ rằng \(A, B, P, O\) cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp. 5. Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn: - Vì \(A, B, P, O\) cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp, nên \(A, B, C, D\) cũng cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp. Vậy, ta đã chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp.