Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ hai đường cao BE, CF, chúng cắt nhau tại H b) Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho HE=HI, HF=HK. Chứng minh E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn c) Gọi M l...

Phần a) - Ta có $\triangle ABC$ cân tại $A$, nên $AB = AC$. - Vì $BE$ và $CF$ là các đường cao hạ từ đỉnh $B$ và $C$ xuống cạnh $AC$ và $AB$ tương ứng, nên $BE \perp AC$ và $CF \perp AB$. - Do đó, $\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$. Phần b) - Xét $\triangle BEH$ và $\triangle CFH$: - $HE = HI$ (theo đề bài) - $HF = HK$ (theo đề bài) - $\angle BEH = \angle CFH = 90^\circ$ - $BH = CH$ (vì $\triangle ABC$ cân tại $A$, do đó $BH = CH$) Do đó, $\triangle BEH$ và $\triangle CFH$ là các tam giác vuông cân tại $H$. Suy ra $\triangle BEH \cong \triangle CFH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Từ đó ta có $EH = FH$ và $\angle EHF = 90^\circ$. - Xét tứ giác $EFIK$: - $HE = HI$ và $HF = HK$ (theo đề bài) - $\angle EHF = 90^\circ$ (chứng minh ở trên) - Do đó, tứ giác $EFIK$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°). Phần c) - Gọi $M$ là trung điểm của $AH$, tức là $AM = MH$. - Để điểm $M$ thuộc đường tròn đi qua 4 điểm $E, F, I, K$, thì $M$ phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $EFIK$. - Điều kiện để $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $EFIK$ là $M$ phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$ (vì $I$ và $K$ là các điểm đối xứng với $E$ và $F$ qua $H$). - Ta xét trường hợp $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$: - Điều kiện này xảy ra khi $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$, tức là $M$ phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$. - Điều này xảy ra khi $AH$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$. - Kết luận: Điểm $M$ thuộc đường tròn đi qua 4 điểm $E, F, I, K$ khi và chỉ khi $AH$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$. Đáp số: - Điểm $M$ thuộc đường tròn đi qua 4 điểm $E, F, I, K$ khi và chỉ khi $AH$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $EFH$.