Câu 1:
Để tìm thời điểm mà số vi khuẩn lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + 30t^2 - t^3 \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 30 \).
Bước 1: Tính đạo hàm của \( N(t) \):
\[ N'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 30t^2 - t^3) = 60t - 3t^2 \]
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \):
\[ 60t - 3t^2 = 0 \]
\[ 3t(20 - t) = 0 \]
\[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 20 \]
Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( t = 0 \), \( t = 20 \), và \( t = 30 \) để xác định giá trị lớn nhất của \( N(t) \):
- Khi \( t = 0 \):
\[ N(0) = 1000 + 30(0)^2 - (0)^3 = 1000 \]
- Khi \( t = 20 \):
\[ N(20) = 1000 + 30(20)^2 - (20)^3 = 1000 + 30 \cdot 400 - 8000 = 1000 + 12000 - 8000 = 5000 \]
- Khi \( t = 30 \):
\[ N(30) = 1000 + 30(30)^2 - (30)^3 = 1000 + 30 \cdot 900 - 27000 = 1000 + 27000 - 27000 = 1000 \]
Bước 4: So sánh các giá trị:
\[ N(0) = 1000 \]
\[ N(20) = 5000 \]
\[ N(30) = 1000 \]
Như vậy, giá trị lớn nhất của \( N(t) \) là 5000, đạt được khi \( t = 20 \).
Đáp số: Sau 20 phút, số vi khuẩn lớn nhất.
Câu 2:
Để tìm giá trị của tổng \(a + b + c\), ta cần xác định tọa độ của các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ trung bình cộng của tọa độ các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\). Cụ thể:
\[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \]
Biết rằng \(A(1, -3, 3)\), \(B(2, -4, 5)\), \(C(a, -2, b)\), và \(G(1, c, 6)\), ta có:
\[ 1 = \frac{1 + 2 + a}{3} \]
\[ c = \frac{-3 - 4 - 2}{3} \]
\[ 6 = \frac{3 + 5 + b}{3} \]
Giải từng phương trình này:
1. Tìm \(a\):
\[ 1 = \frac{1 + 2 + a}{3} \]
\[ 1 = \frac{3 + a}{3} \]
\[ 3 = 3 + a \]
\[ a = 0 \]
2. Tìm \(c\):
\[ c = \frac{-3 - 4 - 2}{3} \]
\[ c = \frac{-9}{3} \]
\[ c = -3 \]
3. Tìm \(b\):
\[ 6 = \frac{3 + 5 + b}{3} \]
\[ 6 = \frac{8 + b}{3} \]
\[ 18 = 8 + b \]
\[ b = 10 \]
Vậy, giá trị của tổng \(a + b + c\) là:
\[ a + b + c = 0 + 10 - 3 = 7 \]
Đáp số: \(a + b + c = 7\).
Câu 3:
Để xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu.
2. Tính phương sai của mẫu số liệu.
3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai.
Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu
Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị trong mẫu chia cho số lượng giá trị trong mẫu.
\[
\bar{x} = \frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)}{10} = \frac{55}{10} = 5.5
\]
Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu
Phương sai \( s^2 \) được tính bằng cách lấy tổng của các bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, chia cho số lượng giá trị trừ đi một.
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}
\]
Trong đó:
- \( n \) là số lượng giá trị trong mẫu (ở đây là 10).
- \( x_i \) là giá trị thứ i trong mẫu.
- \( \bar{x} \) là trung bình cộng của mẫu.
Ta tính từng bình phương hiệu:
\[
(1 - 5.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25
\]
\[
(2 - 5.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25
\]
\[
(3 - 5.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25
\]
\[
(4 - 5.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25
\]
\[
(5 - 5.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25
\]
\[
(6 - 5.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25
\]
\[
(7 - 5.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25
\]
\[
(8 - 5.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25
\]
\[
(9 - 5.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25
\]
\[
(10 - 5.5)^2 = (4.5)^2 = 20.25
\]
Tổng các bình phương hiệu:
\[
20.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25 + 20.25 = 82.5
\]
Phương sai:
\[
s^2 = \frac{82.5}{10-1} = \frac{82.5}{9} \approx 9.17
\]
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai
Độ lệch chuẩn \( s \) là căn bậc hai của phương sai:
\[
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{9.17} \approx 3.03
\]
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là khoảng 3.03 (làm tròn đến hàng phần trăm).