vhjngffcvhjnkkhgg

Câu 1. a) Ta có $$ là đường trung tuyến của $$ nên $$ là trung điểm của $$. Từ đó ta có $$. Xét $$ và $$: - $$ (vì $$ là tam giác cân tại $$) - $$ chung - $$ (vì $$ là trung điểm của $$) Do đó, $$ = $$ (cạnh - cạnh - cạnh) Suy ra $$. Mà $$ nên $$. Vậy $$. Xét $$ và $$: - $$ (vì $$ và $$ là hình chiếu của $$ trên $$ và $$ lần lượt) - $$ (vì $$ là trung điểm của $$) - $$ Do đó, $$ = $$ (cạnh - góc - cạnh) Suy ra $$. Vậy tứ giác $$ là hình vuông (vì $$ và $$). b) Vì $$ là đường trung tuyến của $$ nên $$ song song với $$ và $$. c) Để tứ giác $$ là hình vuông, ta cần thêm điều kiện $$ và $$. Đáp số: a) Tứ giác $$ là hình vuông. b) $$ là đường trung bình của $$. c) Điều kiện cần thêm: $$ và $$. Câu 2 a) Ta có $$ là hình thang vuông tại $$ và $$, với $$ và $$. Gọi $$ là hình chiếu của $$ trên $$, tức là $$. - Vì $$ là hình thang vuông nên $$ và $$. Do đó, tam giác $$ là tam giác vuông tại $$. - Vì $$ và $$ lần lượt là trung điểm của $$ và $$, ta có $$ là đường trung bình của tam giác $$. Do đó, $$ và $$. - Mặt khác, $$ và $$. Do đó, $$. - Vì $$ và $$, ta có $$. - Kết hợp các tính chất trên, ta thấy $$ là hình bình hành. b) Để chứng minh $$, ta xét các tính chất của hình chiếu và trung điểm: - Vì $$ là hình chiếu của $$ trên $$, ta có $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, ta có $$. - Xét tam giác $$, ta có $$ và $$. Do đó, tam giác $$ là tam giác vuông cân tại $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, ta có $$ là đường cao của tam giác $$. Do đó, $$. - Vì $$ và $$, ta có $$ là hình bình hành. Do đó, $$. - Vì $$, ta có $$. - Kết hợp các tính chất trên, ta thấy $$. Vậy ta đã chứng minh được $$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC vuông tại A. - Gọi M là điểm trên cạnh BC. - Kẻ đường vuông góc từ M xuống AB và AC, giao AB tại N và AC tại P. 2. Xác định các đường vuông góc: - Đường vuông góc từ M xuống AB là MN. - Đường vuông góc từ M xuống AC là MP. 3. Xác định các góc vuông: - Vì MN vuông góc với AB, nên góc ANM = 90°. - Vì MP vuông góc với AC, nên góc AMP = 90°. 4. Xác định các đoạn thẳng: - Đoạn thẳng MN là đường cao hạ từ M xuống AB. - Đoạn thẳng MP là đường cao hạ từ M xuống AC. 5. Tổng kết: - Điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. - Đường thẳng MN vuông góc với AB tại N. - Đường thẳng MP vuông góc với AC tại P. Vậy, chúng ta đã xác định được các đường thẳng và các điểm liên quan trong bài toán.