vhjngffcvhjnkkhgg

Câu 1. a) Ta có \(AI\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(I\) là trung điểm của \(BC\). Từ đó ta có \(BI = IC\). Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\): - \(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)) - \(AI\) chung - \(BI = IC\) (vì \(I\) là trung điểm của \(BC\)) Do đó, \(\Delta ABI\) = \(\Delta ACI\) (cạnh - cạnh - cạnh) Suy ra \(\angle ABI = \angle ACI\). Mà \(\angle BAC = 90^\circ\) nên \(\angle ABI + \angle ACI = 90^\circ\). Vậy \(\angle ABI = \angle ACI = 45^\circ\). Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ANC\): - \(AM = AN\) (vì \(M\) và \(N\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB\) và \(AC\) lần lượt) - \(MB = NC\) (vì \(I\) là trung điểm của \(BC\)) - \(\angle AMB = \angle ANC = 90^\circ\) Do đó, \(\Delta AMB\) = \(\Delta ANC\) (cạnh - góc - cạnh) Suy ra \(AM = AN\). Vậy tứ giác \(AMIN\) là hình vuông (vì \(AM = AN\) và \(\angle MAN = 90^\circ\)). b) Vì \(MN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(MN\) song song với \(BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\). c) Để tứ giác \(AMIN\) là hình vuông, ta cần thêm điều kiện \(\angle BAC = 90^\circ\) và \(AB = AC\). Đáp số: a) Tứ giác \(AMIN\) là hình vuông. b) \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\). c) Điều kiện cần thêm: \(\angle BAC = 90^\circ\) và \(AB = AC\). Câu 2 a) Ta có $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, với $AB // CD$ và $CD = 2AB$. Gọi $H$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$, tức là $DH \perp AC$. - Vì $ABCD$ là hình thang vuông nên $AD \perp AB$ và $AD \perp DC$. Do đó, tam giác $ADC$ là tam giác vuông tại $D$. - Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $HC$ và $HD$, ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $HDC$. Do đó, $MN \parallel DC$ và $MN = \frac{1}{2}DC$. - Mặt khác, $AB \parallel DC$ và $AB = \frac{1}{2}DC$. Do đó, $MN = AB$. - Vì $MN \parallel DC$ và $AB \parallel DC$, ta có $MN \parallel AB$. - Kết hợp các tính chất trên, ta thấy $ABMN$ là hình bình hành. b) Để chứng minh $\widehat{BMD} = 90^\circ$, ta xét các tính chất của hình chiếu và trung điểm: - Vì $H$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$, ta có $DH \perp AC$. - Vì $M$ là trung điểm của $HC$, ta có $MH = MC$. - Xét tam giác $DHC$, ta có $MH = MC$ và $DH \perp AC$. Do đó, tam giác $DHC$ là tam giác vuông cân tại $H$. - Vì $M$ là trung điểm của $HC$, ta có $DM$ là đường cao của tam giác $DHC$. Do đó, $DM \perp HC$. - Vì $AB \parallel DC$ và $AB = \frac{1}{2}DC$, ta có $ABMN$ là hình bình hành. Do đó, $BM \parallel AD$. - Vì $AD \perp AB$, ta có $BM \perp AB$. - Kết hợp các tính chất trên, ta thấy $\widehat{BMD} = 90^\circ$. Vậy ta đã chứng minh được $\widehat{BMD} = 90^\circ$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC vuông tại A. - Gọi M là điểm trên cạnh BC. - Kẻ đường vuông góc từ M xuống AB và AC, giao AB tại N và AC tại P. 2. Xác định các đường vuông góc: - Đường vuông góc từ M xuống AB là MN. - Đường vuông góc từ M xuống AC là MP. 3. Xác định các góc vuông: - Vì MN vuông góc với AB, nên góc ANM = 90°. - Vì MP vuông góc với AC, nên góc AMP = 90°. 4. Xác định các đoạn thẳng: - Đoạn thẳng MN là đường cao hạ từ M xuống AB. - Đoạn thẳng MP là đường cao hạ từ M xuống AC. 5. Tổng kết: - Điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. - Đường thẳng MN vuông góc với AB tại N. - Đường thẳng MP vuông góc với AC tại P. Vậy, chúng ta đã xác định được các đường thẳng và các điểm liên quan trong bài toán.