Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Lấy D trên BC sao cho BD=BA. Gọi E là giao điểm của đường thẳng DM và BA a, chứng minh MA=MD b,kẻ DH vuông góc với MC ; AK vuông góc...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \( MA = MD \) Ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), và tia phân giác của góc \( B \) cắt \( AC \) tại \( M \). Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, ta có: - \( \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \). Do \( BD = BA \), ta có tam giác \( ABD \) cân tại \( B \). Do đó, \( \angle ABD = \angle ADB \). Xét tam giác \( AMD \), ta có: - \( \angle AMD = \angle ABD = \angle ADB \). Vì \( \angle AMD = \angle ADB \) và \( AD = AB \), nên tam giác \( AMD \) cân tại \( M \). Do đó, \( MA = MD \). b) Chứng minh tam giác \( \triangle MHN = \triangle MKN \) và \( B, M, N \) thẳng hàng Kẻ \( DH \) vuông góc với \( MC \) tại \( H \) và \( AK \) vuông góc với \( ME \) tại \( K \). Gọi \( N \) là giao điểm của \( DH \) và \( AK \). Xét hai tam giác vuông \( \triangle MHD \) và \( \triangle MKE \): - \( \angle MHD = \angle MKE = 90^\circ \). - \( \angle HMD = \angle KME \) (vì cùng phụ với \( \angle AMD \)). Do đó, hai tam giác \( \triangle MHD \) và \( \triangle MKE \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA). Vì \( \triangle MHD \sim \triangle MKE \), ta có: - \( \frac{MH}{MK} = \frac{MD}{ME} \). Do \( MA = MD \) và \( ME = MA \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AE \)), ta có: - \( MH = MK \). Do đó, tam giác \( \triangle MHN \) và \( \triangle MKN \) có: - \( MH = MK \). - \( \angle MHN = \angle MKN \) (vì cùng phụ với \( \angle HNK \)). Vậy, \( \triangle MHN = \triangle MKN \). Để chứng minh \( B, M, N \) thẳng hàng, ta xét: - \( \angle BMN = \angle HNK = 90^\circ \). Do đó, \( B, M, N \) thẳng hàng. c) Chứng minh \( AB + AM < CF + CM \) Kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \) từ \( C \) cắt \( BM \) tại \( F \). Ta cần chứng minh \( AB + AM < CF + CM \). Xét tam giác vuông \( \triangle ABM \) và \( \triangle CFM \): - \( AB + AM \) là tổng của hai cạnh trong tam giác vuông \( \triangle ABM \). - \( CF + CM \) là tổng của hai cạnh trong tam giác vuông \( \triangle CFM \). Do \( F \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) từ \( C \), nên \( CF \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \triangle CFM \). Theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác vuông \( \triangle CFM \), ta có: - \( CF + CM > FM \). Vì \( FM \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \triangle ABM \), nên: - \( FM > AB \). Do đó, \( CF + CM > AB + AM \). Vậy, \( AB + AM < CF + CM \). Bài toán đã được giải quyết từng bước một cách chi tiết và rõ ràng.