gdjbrhrhrhr

Câu 11: Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 2; 0)$ và $\overrightarrow{b} = (-1; 3; 0)$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times (-1) + 2 \times 3 + 0 \times 0 = -1 + 6 + 0 = 5 \] Bước 2: Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10} \] Bước 3: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 4: Xác định góc $\theta$ từ giá trị của cosin: \[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = 45^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $45^\circ$. Đáp án đúng là A. $45^\circ$. Câu 12: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân trung tâm của mỗi nhóm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số lượng mẫu. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng. - Nhân bình phương này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số lượng mẫu. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, ta thực hiện từng bước: Bước 1: Tính trung bình cộng | Nhóm | Trung tâm | Tần số | Trung tâm × Tần số | |------|-----------|--------|-------------------| | [0; 2) | 1 | 3 | 3 | | [2; 4) | 3 | 2 | 6 | | [4; 6) | 5 | 10 | 50 | | [6; 8) | 7 | 14 | 98 | | [8; 10] | 9 | 7 | 63 | Tổng trung tâm × tần số: \[ 3 + 6 + 50 + 98 + 63 = 220 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{220}{36} \approx 6,11 \] Bước 2: Tính phương sai | Nhóm | Trung tâm | Tần số | (Trung tâm - Trung bình)² | (Trung tâm - Trung bình)² × Tần số | |------|-----------|--------|--------------------------|----------------------------------| | [0; 2) | 1 | 3 | (1 - 6,11)² ≈ 26,1321 | 26,1321 × 3 ≈ 78,3963 | | [2; 4) | 3 | 2 | (3 - 6,11)² ≈ 9,2481 | 9,2481 × 2 ≈ 18,4962 | | [4; 6) | 5 | 10 | (5 - 6,11)² ≈ 1,2321 | 1,2321 × 10 ≈ 12,321 | | [6; 8) | 7 | 14 | (7 - 6,11)² ≈ 0,7921 | 0,7921 × 14 ≈ 11,0894 | | [8; 10] | 9 | 7 | (9 - 6,11)² ≈ 8,3121 | 8,3121 × 7 ≈ 58,1847 | Tổng (Trung tâm - Trung bình)² × Tần số: \[ 78,3963 + 18,4962 + 12,321 + 11,0894 + 58,1847 = 178,4876 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{178,4876}{36} \approx 4,958 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{4,958} \approx 2,23 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 2,23. Đáp án đúng là: B. 2,23 Câu 1: a) Giá trị cực đại của hàm số bằng 4. - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 4$. - Vậy khẳng định này là Đúng. b) $f(-25) > f(-24)$. - Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(-\infty, -1)$, hàm số đồng biến. Do đó, $f(-25) < f(-24)$. - Vậy khẳng định này là Sai. c) $\underset{x\in\left(-\infty;1\right)}{max}f(x)=f(-1)$. - Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(-\infty, 1)$, giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại điểm $x = -1$ với giá trị $f(-1) = 4$. - Vậy khẳng định này là Đúng. d) Hàm số đồng biến trên $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Vậy khẳng định này là Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 2: a) Ta có $\overrightarrow{AB^\prime} + \overrightarrow{CD^\prime} = \overrightarrow{AB^\prime} + \overrightarrow{BA^\prime} = \overrightarrow{AB^\prime} - \overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{0}$. Vậy khẳng định đúng. b) Ta có $\overrightarrow{A^\prime D} + \overrightarrow{CB^\prime} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB^\prime} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{0}$. Vậy khẳng định sai. c) Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$. Vậy $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{DB}| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. Vậy khẳng định sai. d) Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DB}$. Vậy $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime}| = |2\overrightarrow{DB}| = 2|\overrightarrow{DB}| = 2 \times 2a = 4a$. Vậy khẳng định sai. Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai. Câu 3: a) Khẳng định "Điểm A thuộc trục hoành Ox" là Đúng vì tọa độ của điểm A là (3;0;0), tức là nó nằm trên trục Ox. b) Khẳng định "$\overrightarrow{AB} = (-3;2;0)$" là Đúng vì: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, -2 - 0, 0 - 0) = (-3, -2, 0) \] c) Diện tích tam giác OAB: - Tọa độ của các đỉnh: O(0,0,0), A(3,0,0), B(0,-2,0). - Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \] Vậy khẳng định "Diện tích tam giác OAB bằng 3" là Đúng. d) Thể tích tứ diện OABC: - Tọa độ của các đỉnh: O(0,0,0), A(3,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,-1). - Thể tích tứ diện OABC là: \[ V_{OABC} = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} \left| 3 \times (-2) \times (-1) \right| = \frac{1}{6} \times 6 = 1 \] Vậy khẳng định "Thể tích tứ diện OABC bằng 1" là Đúng. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 4: a) Cỡ mẫu \( n = 100 \). Đúng vì tổng số lần ông Thằng đi xe buýt là 100 lần. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 15 phút. Sai vì khoảng biến thiên là 33 - 15 = 18 phút. c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_1 = \frac{683}{38} \). - Để tìm \( Q_1 \), ta cần xác định vị trí của \( Q_1 \) trong dãy số liệu đã sắp xếp. Với \( n = 100 \), ta có: \[ \frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25 \] - Ta thấy rằng 25 nằm trong khoảng [18; 21) vì tổng số lượng ở các nhóm trước đó là 22 (nhóm [15; 18)) và 25 nằm trong nhóm tiếp theo là [18; 21). - Do đó, \( Q_1 \) nằm trong nhóm [18; 21). Ta tính \( Q_1 \) bằng công thức: \[ Q_1 = 18 + \left( \frac{25 - 22}{38} \right) \times 3 = 18 + \left( \frac{3}{38} \right) \times 3 = 18 + \frac{9}{38} = \frac{684}{38} \] Vậy \( Q_1 = \frac{684}{38} \). Khẳng định này sai vì \( Q_1 = \frac{684}{38} \neq \frac{683}{38} \). d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \( \Delta_Q = \frac{505}{114} \). - Để tìm \( Q_3 \), ta cần xác định vị trí của \( Q_3 \) trong dãy số liệu đã sắp xếp. Với \( n = 100 \), ta có: \[ \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \] - Ta thấy rằng 75 nằm trong khoảng [21; 24) vì tổng số lượng ở các nhóm trước đó là 22 (nhóm [15; 18)) + 38 (nhóm [18; 21)) = 60 và 75 nằm trong nhóm tiếp theo là [21; 24). - Do đó, \( Q_3 \) nằm trong nhóm [21; 24). Ta tính \( Q_3 \) bằng công thức: \[ Q_3 = 21 + \left( \frac{75 - 60}{27} \right) \times 3 = 21 + \left( \frac{15}{27} \right) \times 3 = 21 + \frac{45}{27} = 21 + \frac{5}{3} = \frac{68}{3} \] - Khoảng tứ phân vị \( \Delta_Q \) là: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = \frac{68}{3} - \frac{684}{38} = \frac{2584 - 2052}{114} = \frac{532}{114} = \frac{266}{57} \] Vậy \( \Delta_Q = \frac{266}{57} \). Khẳng định này sai vì \( \Delta_Q = \frac{266}{57} \neq \frac{505}{114} \). Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai