trả lời cÂU HỎI Câu 4: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-3}&khi~x1\\frac{ax+15}4&khi~x\leq1\end{array} ight..$ Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì a nhận giá trị là,Câu 5: Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng.,Tìm tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó.

Question

trả lời cÂU HỎI Câu 4: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-3}&khi~x>1\\frac{ax+15}4&khi~x\leq1\end{array}ight..$ Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì a nhận giá trị là,Câu 5: Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng.,Tìm tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó.

thuylinh224 · Accepted Answer

Câu 4
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\lim _{x ightarrow 1^{+}} f( x) =\lim _{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x+7} -3}{x-3} =\frac{\sqrt{1+7} -3}{1-3} =\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\
\lim _{x ightarrow 1^{-}} f( x) =\lim _{x ightarrow 1^{-}}\frac{ax+15}{4} =\frac{a+15}{4}
\end{array}$
Để hàm số liên tục tại $\displaystyle x=1$
⟹ $\displaystyle \lim _{x ightarrow 1^{+}} f( x) =\lim _{x ightarrow 1^{-}} f( x)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \frac{3-2\sqrt{2}}{2} =\frac{a+15}{4}\
\Longrightarrow a=-9-4\sqrt{2}
\end{array}$

Timi · Answer

Câu 4:
Để hàm số liên tục tại điểm $ x = 1 $, ta cần đảm bảo rằng:
1. Hàm số có giá trị hữu hạn tại $ x = 1 $.
2. Giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái và bên phải đều tồn tại và bằng nhau.

Ta sẽ tính giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến 1 từ hai phía và sau đó tìm giá trị của $ a $ để đảm bảo tính liên tục.

Bước 1: Tính giới hạn khi $ x $ tiến đến 1 từ bên phải ($ x > 1 $)

$$ f(x) = \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3} $$

Khi $ x \to 1^+ $:

$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3} $$

Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số:

$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 7} + 3}{\sqrt{x + 7} + 3} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x + 7) - 9}{(x - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)} $$

$$ = \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 2}{(x - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)} $$

Khi $ x \to 1^+ $, ta thay $ x = 1 $ vào biểu thức trên:

$$ = \frac{1 - 2}{(1 - 3)(\sqrt{1 + 7} + 3)} = \frac{-1}{(-2)(4)} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} $$

Bước 2: Tính giá trị của hàm số khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái ($ x \leq 1 $)

$$ f(x) = \frac{ax + 15}{4} $$

Khi $ x \to 1^- $:

$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{a \cdot 1 + 15}{4} = \frac{a + 15}{4} $$

Bước 3: Đảm bảo tính liên tục tại $ x = 1 $

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:

$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) $$

Do đó:

$$ \frac{1}{8} = \frac{a + 15}{4} $$

Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm giá trị của $ a $:

$$ \frac{1}{8} = \frac{a + 15}{4} $$

Nhân cả hai vế với 8:

$$ 1 = 2(a + 15) $$

$$ 1 = 2a + 30 $$

$$ 2a = 1 - 30 $$

$$ 2a = -29 $$

$$ a = -\frac{29}{2} $$

Vậy giá trị của $ a $ để hàm số liên tục tại $ x = 1 $ là:

$$ a = -\frac{29}{2} $$

Câu 5:
Để viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng, ta làm như sau:

Gọi các số hạng của cấp số nhân là $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$. Ta biết rằng $a_1 = 160$ và $a_6 = 5$.

Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với công bội $q$. Do đó, ta có:
$$a_6 = a_1 \cdot q^5$$

Thay $a_1 = 160$ và $a_6 = 5$ vào, ta có:
$$5 = 160 \cdot q^5$$

Giải phương trình này để tìm $q$:
$$q^5 = \frac{5}{160} = \frac{1}{32}$$
$$q = \left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2}$$

Bây giờ, ta tính các số hạng còn lại của cấp số nhân:
$$a_2 = a_1 \cdot q = 160 \cdot \frac{1}{2} = 80$$
$$a_3 = a_2 \cdot q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$$
$$a_4 = a_3 \cdot q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$$
$$a_5 = a_4 \cdot q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$$

Như vậy, các số hạng của cấp số nhân là: 160, 80, 40, 20, 10, 5.

Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân này là:
$$S = 160 + 80 + 40 + 20 + 10 + 5 = 315$$

Đáp số: Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân là 315.