giải giúp mình tự luận với ạ

Câu 1. Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: - Đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 \) bằng 0 khi: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các điểm cực trị: - Chia khoảng thực thành các khoảng dựa trên các điểm cực trị: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, +\infty) \). 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong mỗi khoảng: - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 < 0 \quad (\text{vì } x < 0, (x-1)^2 > 0, (x-2)^3 < 0) \] - Trên khoảng \( (0, 1) \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 > 0 \quad (\text{vì } x > 0, (x-1)^2 > 0, (x-2)^3 < 0) \] - Trên khoảng \( (1, 2) \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 < 0 \quad (\text{vì } x > 0, (x-1)^2 > 0, (x-2)^3 < 0) \] - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): \[ f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3 > 0 \quad (\text{vì } x > 0, (x-1)^2 > 0, (x-2)^3 > 0) \] 4. Kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (0, 1) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (1, 2) \). Đáp số: - Các khoảng đồng biến: \( (0, 1) \) và \( (2, +\infty) \). - Các khoảng nghịch biến: \( (-\infty, 0) \) và \( (1, 2) \). Câu 2. Để tam giác MNP vuông tại N, ta cần chứng minh rằng các vectơ NM và NP vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0. Bước 1: Tính các vectơ NM và NP. \[ \overrightarrow{NM} = M - N = (2 - (-1); 3 - 1; -2 - 1) = (3; 2; -3) \] \[ \overrightarrow{NP} = P - N = (1 - (-1); (m-1) - 1; 2 - 1) = (2; m-2; 1) \] Bước 2: Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{NM}\) và \(\overrightarrow{NP}\). \[ \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = (3; 2; -3) \cdot (2; m-2; 1) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (m-2) + (-3) \cdot 1 \] \[ = 6 + 2(m-2) - 3 \] \[ = 6 + 2m - 4 - 3 \] \[ = 2m - 1 \] Bước 3: Để tam giác MNP vuông tại N, tích vô hướng này phải bằng 0. \[ 2m - 1 = 0 \] \[ 2m = 1 \] \[ m = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \(m\) để tam giác MNP vuông tại N là: \[ m = \frac{1}{2} \] Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật. 1. Xác định biến và biểu thức diện tích: Gọi bán kính của nửa hình tròn là \( R = 4 \). Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( x \) và chiều rộng là \( y \). Diện tích của hình chữ nhật là \( S = xy \). 2. Liên hệ giữa \( x \) và \( y \): Do hình chữ nhật nằm trong nửa hình tròn, ta có: \[ x^2 + y^2 = R^2 \] \[ x^2 + y^2 = 16 \] Từ đó suy ra: \[ y = \sqrt{16 - x^2} \] 3. Biểu thức diện tích theo \( x \): Thay \( y \) vào biểu thức diện tích: \[ S = x \cdot \sqrt{16 - x^2} \] 4. Tìm đạo hàm của \( S \): \[ S' = \sqrt{16 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} \] \[ S' = \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] \[ S' = \frac{(16 - x^2) - x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] \[ S' = \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] 5. Tìm điểm cực đại: Đặt \( S' = 0 \): \[ \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = 0 \] \[ 16 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 16 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 6. Tính giá trị của \( y \): \[ y = \sqrt{16 - (2\sqrt{2})^2} \] \[ y = \sqrt{16 - 8} \] \[ y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 7. Diện tích lớn nhất: \[ S_{max} = x \cdot y \] \[ S_{max} = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \] \[ S_{max} = 4 \cdot 2 \] \[ S_{max} = 8 \] Đáp số: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được từ miếng tôn là \( 8 \). Câu 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = MA^2 + 2MB^2 - MC^2 \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \( M \): Giả sử tọa độ của điểm \( M \) là \( (x, y, z) \). 2. Tính khoảng cách từ \( M \) đến các điểm \( A \), \( B \), và \( C \): - \( MA^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2 \) - \( MB^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2 \) - \( MC^2 = x^2 + y^2 + (z-1)^2 \) 3. Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = (x-1)^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + (y-1)^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + (z-1)^2) \] 4. Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = (x-1)^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + (y-1)^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + (z-1)^2) \] \[ P = (x-1)^2 + y^2 + z^2 + 2x^2 + 2(y-1)^2 + 2z^2 - x^2 - y^2 - (z-1)^2 \] \[ P = (x-1)^2 + 2x^2 + 2(y-1)^2 + 2z^2 - (z-1)^2 \] \[ P = x^2 - 2x + 1 + 2x^2 + 2(y^2 - 2y + 1) + 2z^2 - (z^2 - 2z + 1) \] \[ P = 3x^2 - 2x + 1 + 2y^2 - 4y + 2 + 2z^2 - z^2 + 2z - 1 \] \[ P = 3x^2 - 2x + 2y^2 - 4y + z^2 + 2z + 2 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): \[ \frac{\partial P}{\partial x} = 6x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{3} \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 4y - 4 = 0 \implies y = 1 \] \[ \frac{\partial P}{\partial z} = 2z + 2 = 0 \implies z = -1 \] 6. Thay \( x = \frac{1}{3} \), \( y = 1 \), \( z = -1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 2(1)^2 - 4(1) + (-1)^2 + 2(-1) + 2 \] \[ P = 3\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{2}{3} + 2 - 4 + 1 - 2 + 2 \] \[ P = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 2 - 4 + 1 - 2 + 2 \] \[ P = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 2 - 4 + 1 - 2 + 2 \] \[ P = -\frac{1}{3} + 2 - 4 + 1 - 2 + 2 \] \[ P = -\frac{1}{3} - 1 \] \[ P = -\frac{4}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\frac{4}{3} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{3} \), \( y = 1 \), \( z = -1 \). Đáp số: \( -\frac{4}{3} \)