giup e vs a

Câu 1: Để chuyển đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo radian} = \text{Số đo độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng vào góc 120°: \[ 120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{2\pi}{3}$ Tiếp theo, ta xét câu hỏi về $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Trước hết, ta biết rằng $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ và $\alpha$ nằm trong khoảng $(0, \frac{\pi}{2})$, tức là góc $\alpha$ là góc nhọn. Ta cần tìm $\sin \alpha$. Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ vào: \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \] Do $\alpha$ là góc nhọn, $\sin \alpha$ sẽ dương: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] Vậy $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Tóm lại: - Đáp án cho phần chuyển đổi độ sang radian là D. $\frac{2\pi}{3}$. - $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Câu 2: Để tính $\sin\alpha$, ta cần biết giá trị của $\cos\alpha$. Giả sử ta đã biết $\cos\alpha = \frac{4}{5}$. Ta sẽ sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông để tìm $\sin\alpha$. Công thức Pythagoras cho phép ta tính: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay giá trị của $\cos\alpha$ vào: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{9}{25} \] Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac{3}{5} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$ Câu 3: Công thức đúng là: D. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Lý do: - Công thức $\cos(a + b)$ được biết đến là $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. - Các công thức khác không đúng: - $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ - $\cos(a + b) = \sin a \sin b - \cos a \cos b$ (sai) - $\cos(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ (sai) Vậy đáp án đúng là D. Câu 4: Để tính \( P = \cos 2\alpha \) khi biết \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\), ta sử dụng công thức nhân đôi cho cosin: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \] Bước 1: Thay giá trị của \(\sin \alpha\) vào công thức trên: \[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \] \[ \sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \] Bước 2: Thay \(\sin^2 \alpha\) vào công thức nhân đôi: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{2}{4} \] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{1}{2} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ P = \frac{1}{2} \] Đáp án đúng là: A. \( P = \frac{1}{2} \). Câu 5: Hàm số $y = \cot x$ được định nghĩa là $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Để hàm số này có nghĩa, mẫu số $\sin x$ phải khác 0. Ta có: \[ \sin x \neq 0 \] Biết rằng $\sin x = 0$ khi $x = k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, để hàm số $y = \cot x$ có nghĩa, ta phải loại bỏ các giá trị $x = k\pi$ khỏi tập số thực $\mathbb{R}$. Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \] Vậy đáp án đúng là: C. $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$. Câu 6: Để xác định hàm số nào là hàm số lẻ, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số lẻ: Nếu \( f(-x) = -f(x) \) thì hàm số \( f(x) \) là hàm số lẻ. A. \( y = \sin x \) - Kiểm tra tính chất hàm số lẻ: \[ \sin(-x) = -\sin(x) \] Do đó, \( y = \sin x \) là hàm số lẻ. B. \( y = x^2 \) - Kiểm tra tính chất hàm số lẻ: \[ (-x)^2 = x^2 \] Do đó, \( y = x^2 \) là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ. C. \( y = \cos x \) - Kiểm tra tính chất hàm số lẻ: \[ \cos(-x) = \cos(x) \] Do đó, \( y = \cos x \) là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ. D. \( y = x^4 \) - Kiểm tra tính chất hàm số lẻ: \[ (-x)^4 = x^4 \] Do đó, \( y = x^4 \) là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ. Kết luận: Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số \( y = \sin x \) là hàm số lẻ. Đáp án đúng là: A. \( y = \sin x \). Câu 7: Phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\sin x$ bằng 1. Ta biết rằng $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Do đó, nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] Vậy đáp án đúng là: B. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$. Câu 8: Để phương trình $\cos x = m$ có nghiệm, giá trị của $m$ phải nằm trong khoảng giá trị mà hàm cosin có thể nhận được. Hàm cosin có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là $-1 \leq \cos x \leq 1$. Do đó, để phương trình $\cos x = m$ có nghiệm, $m$ cũng phải nằm trong khoảng này. Vậy, các giá trị của $m$ để phương trình $\cos x = m$ có nghiệm là: \[ -1 \leq m \leq 1 \] Đáp án đúng là: D. $-1 \leq m \leq 1$. Câu 9: Để tìm ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ với công thức $u_n = \frac{1}{n}$, chúng ta sẽ thay các giá trị của $n$ từ 1 đến 3 vào công thức này. - Khi $n = 1$, ta có: \[ u_1 = \frac{1}{1} = 1 \] - Khi $n = 2$, ta có: \[ u_2 = \frac{1}{2} \] - Khi $n = 3$, ta có: \[ u_3 = \frac{1}{3} \] Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}$. Câu 10: Ta có dãy số $(u_n)$ với điều kiện ban đầu $u_1 = 1$ và quy luật $u_{n+1} = u_n - 2$ với $n \geq 0$. Bây giờ, ta sẽ tính ba số hạng đầu tiên của dãy số này: 1. Số hạng thứ nhất: \[ u_1 = 1 \] 2. Số hạng thứ hai: \[ u_2 = u_1 - 2 = 1 - 2 = -1 \] 3. Số hạng thứ ba: \[ u_3 = u_2 - 2 = -1 - 2 = -3 \] Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là: $1, -1, -3$. Do đó, đáp án đúng là: A. $1, -1, -3.$ Câu 11: Để xác định xem một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem số hạng thứ hai có bằng trung bình cộng của hai số hạng còn lại hay không. Cụ thể, nếu ba số hạng liên tiếp là \(a\), \(b\), và \(c\), thì dãy số này là cấp số cộng nếu và chỉ nếu: \[ b = \frac{a + c}{2} \] Ta sẽ kiểm tra từng dãy số theo phương pháp này. Dãy số 1: 2, 5, 8 - Số hạng thứ hai là 5. - Kiểm tra: \( 5 = \frac{2 + 8}{2} \) - Tính: \( \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) Vậy dãy số 2, 5, 8 là cấp số cộng. Dãy số 2: 3, 6, 9 - Số hạng thứ hai là 6. - Kiểm tra: \( 6 = \frac{3 + 9}{2} \) - Tính: \( \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) Vậy dãy số 3, 6, 9 là cấp số cộng. Dãy số 3: 4, 7, 10 - Số hạng thứ hai là 7. - Kiểm tra: \( 7 = \frac{4 + 10}{2} \) - Tính: \( \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) Vậy dãy số 4, 7, 10 là cấp số cộng. Dãy số 4: 1, 3, 5 - Số hạng thứ hai là 3. - Kiểm tra: \( 3 = \frac{1 + 5}{2} \) - Tính: \( \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) Vậy dãy số 1, 3, 5 là cấp số cộng. Kết luận: Tất cả các dãy số trên đều là cấp số cộng vì mỗi số hạng thứ hai đều bằng trung bình cộng của hai số hạng còn lại.