let's go........!

Bài 11: a) Để biểu thức B có giá trị bằng 1, ta có: \[ \frac{3}{x^2 - 1} = 1 \] \[ 3 = x^2 - 1 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] b) Rút gọn biểu thức A: \[ A = \left( \frac{x+2}{x+1} - \frac{x-2}{x-1} \right) \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \left( \frac{(x+2)(x-1) - (x-2)(x+1)}{(x+1)(x-1)} \right) \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \left( \frac{x^2 + x - 2 - (x^2 - x - 2)}{(x+1)(x-1)} \right) \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \left( \frac{x^2 + x - 2 - x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)} \right) \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \left( \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \right) \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{x+1}{x} \] \[ = \frac{2}{x-1} \] c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên: \[ A = \frac{2}{x-1} \] Để A có giá trị nguyên, \( x - 1 \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là ±1 và ±2. Do đó: \[ x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \] \[ x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0 \] (loại vì \( x \neq 0 \)) \[ x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \] \[ x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1 \] (loại vì \( x \neq -1 \)) Vậy giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên là \( x = 2 \) và \( x = 3 \). d) Tìm giá trị của x để \( A = 2B \): \[ \frac{2}{x-1} = 2 \cdot \frac{3}{x^2 - 1} \] \[ \frac{2}{x-1} = \frac{6}{x^2 - 1} \] \[ \frac{2}{x-1} = \frac{6}{(x+1)(x-1)} \] \[ 2(x+1) = 6 \] \[ x + 1 = 3 \] \[ x = 2 \] Đáp số: a) \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \) b) \( A = \frac{2}{x-1} \) c) \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \) d) \( x = 2 \) Bài 12: a) Rút gọn biểu thức \( A \): Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x+15}{x^2-9} + \frac{2}{x+3} \] Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 9 \) là một hiệu hai bình phương, do đó: \[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} + \frac{2}{x+3} \] Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số chung là \( (x-3)(x+3) \): \[ A = \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} + \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} \] \[ A = \frac{x+15 + 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} \] \[ A = \frac{x+15 + 2x - 6}{(x-3)(x+3)} \] \[ A = \frac{3x + 9}{(x-3)(x+3)} \] \[ A = \frac{3(x + 3)}{(x-3)(x+3)} \] Rút gọn phân số: \[ A = \frac{3}{x-3} \] b) Tìm \( x \) để \( A \) có giá trị bằng \( \frac{-1}{2} \): Ta có: \[ \frac{3}{x-3} = \frac{-1}{2} \] Bằng cách nhân cả hai vế với \( 2(x-3) \): \[ 3 \cdot 2 = -1 \cdot (x-3) \] \[ 6 = -x + 3 \] \[ x = 3 - 6 \] \[ x = -3 \] Tuy nhiên, \( x \neq -3 \) vì điều kiện \( x \neq \pm 3 \). Do đó, không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện này. c) Tìm số tự nhiên \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên: Ta có: \[ A = \frac{3}{x-3} \] Để \( A \) có giá trị nguyên, \( x-3 \) phải là ước của 3. Các ước của 3 là \( \pm 1 \) và \( \pm 3 \). Do đó: \[ x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \] \[ x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2 \] \[ x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6 \] \[ x - 3 = -3 \Rightarrow x = 0 \] Tuy nhiên, \( x \) phải là số tự nhiên và \( x \neq 3 \). Vậy các giá trị của \( x \) là: \[ x = 0, 2, 4, 6 \] Đáp số: a) \( A = \frac{3}{x-3} \) b) Không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện. c) \( x = 0, 2, 4, 6 \) Bài 13: a) Điều kiện xác định của biểu thức A là: \( x \neq 0 \) và \( x \neq -1 \) và \( x \neq -2 \). b) Rút gọn biểu thức A: \[ A = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{x+2} \] Ta sẽ thực hiện phép phân tích và rút gọn từng phân thức: \[ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \] \[ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \] Do đó: \[ A = \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) + \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) + \frac{1}{x+2} \] Các phân thức có thể được nhóm lại để dễ dàng rút gọn: \[ A = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} \] Nhìn thấy các phân thức \(- \frac{1}{x+1}\) và \(\frac{1}{x+1}\) triệt tiêu lẫn nhau, cũng như \(- \frac{1}{x+2}\) và \(\frac{1}{x+2}\): \[ A = \frac{1}{x} \] c) Tính giá trị của biểu thức A biết \( x \) thỏa mãn \((x-2024)(x+1)=0\): Từ phương trình \((x-2024)(x+1)=0\), ta có hai trường hợp: - \( x - 2024 = 0 \Rightarrow x = 2024 \) - \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) Tuy nhiên, do điều kiện xác định \( x \neq -1 \), ta loại bỏ \( x = -1 \). Vậy \( x = 2024 \). Thay \( x = 2024 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{1}{2024} \] Đáp số: \( A = \frac{1}{2024} \)