Bài 7 Cho △ABC, N là trung điểm AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK a) Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao? b) Trên tia đối tia IC lấy H sao cho I là trung đi...

a. Xét tứ giác AKCI có N là trung điểm của AC và N là trung điểm của IK, mà AC và IK cắt nhau tại trung điểm N
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác AKCI là hình bình hành
b. Do tứ giác AKCI là hình bình hành nên $\displaystyle AK\parallel IC,\ AK=IC$
Do I là trung điểm của CH nên $\displaystyle CI=IH$
Mà $\displaystyle CI=AK\ \Rightarrow CI=AK=IH$
Xét tứ giác AKIH có $\displaystyle AK\parallel IH$ (do $\displaystyle AK\parallel IC)$, $\displaystyle AK=IH$
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác AKIH là hình bình hành
$\displaystyle \Rightarrow AH=IK$
c. Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC 
$\displaystyle \Rightarrow $MN là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow MN\parallel BC$
Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle MN\parallel BC$ nên theo định lý Talet ta có
$\displaystyle \frac{MC}{BC} =\frac{NC}{AC} =\frac{MN}{AB}$
Do M là trung điểm của BC nên $\displaystyle BM=MC=\frac{1}{2} BC$
Do đó $\displaystyle \frac{BM}{BC} =\frac{NC}{AC} =\frac{MN}{AB} \Rightarrow \frac{BM}{BC} =\frac{NC}{MN} =\frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{MN}{BC} =\frac{NC}{BM} =\frac{AC}{AB}$ (1)
Do AI là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{BAC} \ $nên theo tính chất tia phân giác ta có
$\displaystyle \frac{IB}{AB} =\frac{IC}{AC} \Rightarrow \frac{AC}{AB} =\frac{IC}{IB}$ (2)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow \frac{IC}{IB} =\frac{NC}{BM} \Rightarrow IC\cdot BM=IB\cdot NC$